Распределение Пуассона

Привет, сегодня поговорим про распределение пуассона, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое распределение пуассона , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

распределение пуассона

Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение
Параметры
Носитель
Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Определение [править ]

Выберем фиксированное число   и определим дискретное распределение, задаваемое следующейфункцией вероятности:

,

где

•  обозначает  факториал  числа ,
•  — основание натурального логарифма.

Тот факт , что случайная величина   имеет распределение Пуассона с параметром , записывается: .

Моменты[править ]

Производящая функция моментов  распределения Пуассона имеет вид:

,

откуда

,

.

Для факториальных моментов распределения справедлива общая формула:

,

где 

А так как моменты и факториальные моменты линейным образом связаны, то часто для пуассоновского распределения исследуются именно факториальные моменты, из которых при необходимости можно вывести и обычные моменты.

Свойства распределения Пуассона[править ]

• Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть . Тогда

.

• Пусть , и . Тогда условное распределение  при условии, что , биномиально. Более точно:

.

Асимптотическое стремление к распределению[править ]

Довольно часто в теории вероятности рассматривают не само распределение Пуассона , а последовательность распределений, асимптотически равных ему. Более формально, рассматривают последовательность случайных величин , принимающих целочисленные значения, такую что для всякого  выполнено  при .

Простейшим примером является случай, когда  имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха  в каждом из  испытаний.

Обратная связь с факториальными моментами[править ]

Рассмотрми последовательность случайных величин , принимающих целые неотрицательные значения. Если  при  и любом фиксированном  (где  - -ый факториальный момент), то для всякого  при  выполнено .

Как пример нетривиального следствия этой теоремы можно привести, например, асимптотическое стремление к  распределения количества изолированных ребер (двухвершинных компонент связности) в случайном -вершинном графе, где каждое из ребер включается в граф с вероятностью .^[1]

История[править ]

Работа Пуассона «Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах» опубликована в 1837 году.^[2][3] Примеры других ситуаций, которые можно смоделировать, применив это распределение: поломки оборудования, длительность исполнения ремонтных работ стабильно работающим сотрудником, ошибка печати, рост колонии бактерий в чашке Петри, дефекты в длинной ленте или цепи, импульсы счетчика радиоактивного излучения и др.^[4]

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря![править ]

Надеюсь, эта статья про распределение пуассона, была вам полезна, счастья и удачи в ваших начинаниях! Надеюсь, что теперь ты понял что такое распределение пуассона и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ