Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

13.7. Характеристические функции кратко

Лекция



Привет, Вы узнаете о том , что такое характеристические функции, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое характеристические функции , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

Одна из наиболее общих форм центральной предельной теоремы была доказана А. М. Ляпуновым в 1900 г. Для доказательства этой теоремы А. М. Ляпунов создал специальный метод характеристических функций. В дальнейшем этот метод приобрел самостоятельное значение и оказался весьма мощным и гибким методом, пригодным для решения самых различных вероятностных задач.

 

Характеристической функцией случайной величины 13.7. Характеристические функции называется функция

13.7. Характеристические функции,                     (13.7.1)

где 13.7. Характеристические функции - мнимая единица. Функция 13.7. Характеристические функции представляет собой математическое ожидание некоторой комплексной случайной величины

13.7. Характеристические функции,

функционально связанной с величиной 13.7. Характеристические функции. При решении многих задач теории вероятностей оказывается удобнее пользоваться характеристическими функциями, чем законами распределения.

Зная закон распределения случайной величины 13.7. Характеристические функции, легко найти ее характеристическую функцию.

Если 13.7. Характеристические функции - прерывная случайная величина с рядом распределения

13.7. Характеристические функции

13.7. Характеристические функции

13.7. Характеристические функции

13.7. Характеристические функции

13.7. Характеристические функции

13.7. Характеристические функции

13.7. Характеристические функции

13.7. Характеристические функции

13.7. Характеристические функции

13.7. Характеристические функции

 

то ее характеристическая функция

13.7. Характеристические функции(13.7.2)

Если 13.7. Характеристические функции - непрерывная случайная величина с плотностью распределения  13.7. Характеристические функции, то ее характеристическая функция

13.7. Характеристические функции.                         (13.7.3)

Пример 1. Случайная величина 13.7. Характеристические функции - число попаданий при одном выстреле. Вероятность попадания равна 13.7. Характеристические функции. Найти характеристическую функцию случайной величины 13.7. Характеристические функции.

Решение. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . По формуле (13.7.2) имеем:

13.7. Характеристические функции,

где 13.7. Характеристические функции.

Пример 2. Случайная величина 13.7. Характеристические функции имеет нормальное распределение:

13.7. Характеристические функции.                 (13.7.4)

Определить ее характеристическую функцию.

Решение. По формуле (13.7.3) имеем:

13.7. Характеристические функции.                  (13.7.5)

Пользуясь известной формулой

13.7. Характеристические функции

и имея в виду, что 13.7. Характеристические функции, получим:

13.7. Характеристические функции.                           (13.7.6)

Формула (13.7.3) выражает характеристическую функцию 13.7. Характеристические функции непрерывной случайной величины 13.7. Характеристические функции через ее плотность распределения 13.7. Характеристические функции. Преобразование (13.7.3), которому нужно подвергнуть 13.7. Характеристические функции, чтобы получить 13.7. Характеристические функции называется преобразованием Фурье. В курсах математического анализа доказывается, что если функция 13.7. Характеристические функции выражается через 13.7. Характеристические функции с помощью преобразования Фурье, то, в свою очередь, функция 13.7. Характеристические функции выражается через 13.7. Характеристические функции с помощью так называемого обратного преобразования Фурье:

13.7. Характеристические функции.                  (13.7.7)

Сформулируем и докажем основные свойства характеристических функций.

1. Если случайные величины 13.7. Характеристические функции и 13.7. Характеристические функции связаны соотношением

13.7. Характеристические функции,

где 13.7. Характеристические функции - неслучайный множитель, то их характеристические функции связаны соотношением:

13.7. Характеристические функции.                      (13.7.8)

Доказательство:

13.7. Характеристические функции.

2. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.

Доказательство. Даны 13.7. Характеристические функции - независимые случайные величины с характеристическими функциями

13.7. Характеристические функции

и их сумма

13.7. Характеристические функции.

Требуется доказать, что

13.7. Характеристические функции.                 (13.7.9)

Имеем

13.7. Характеристические функции.

Так как величины 13.7. Характеристические функции независимы, то независимы и их функции 13.7. Характеристические функции. По теореме умножения математических ожиданий получим:

13.7. Характеристические функции,

что и требовалось доказать.

Аппарат характеристических функций часто применяется для композиции законов распределения. Пусть, например, имеются две независимые случайные величины 13.7. Характеристические функции и 13.7. Характеристические функции с плотностями распределения 13.7. Характеристические функции и 13.7. Характеристические функции. Требуется найти плотность распределения величины

13.7. Характеристические функции.

Это можно выполнить следующим образом: найти характеристические функции 13.7. Характеристические функции и 13.7. Характеристические функции случайных величин 13.7. Характеристические функции и 13.7. Характеристические функции и, перемножив их, получить характеристическую функцию величины 13.7. Характеристические функции:

13.7. Характеристические функции,

после чего, подвергнув 13.7. Характеристические функции обратному преобразованию Фурье, найти плотность распределения величины 13.7. Характеристические функции:

13.7. Характеристические функции.

Пример 3. Найти с помощью характеристических функций композицию двух нормальных законов:

13.7. Характеристические функции с характеристиками 13.7. Характеристические функции13.7. Характеристические функции;

13.7. Характеристические функции с характеристиками 13.7. Характеристические функции13.7. Характеристические функции.

Решение. Находим характеристическую функцию величины 13.7. Характеристические функции. Для этого представим ее в виде

13.7. Характеристические функции,

где 13.7. Характеристические функции13.7. Характеристические функции.

Пользуясь результатом примера 2, найдем

13.7. Характеристические функции.

Согласно свойству 1 характеристических функций,

13.7. Характеристические функции.

Аналогично

13.7. Характеристические функции.

Перемножая 13.7. Характеристические функции и 13.7. Характеристические функции, имеем:

13.7. Характеристические функции,

а это есть характеристическая функция нормального закона с параметрами 13.7. Характеристические функции13.7. Характеристические функции. Таким образом, получена композиция нормальных законов гораздо более простыми средствами, чем в 13.7. Характеристические функции 12.6.

 

 

Информация, изложенная в данной статье про характеристические функции , подчеркивают роль современных технологий в обеспечении масштабируемости и доступности. Надеюсь, что теперь ты понял что такое характеристические функции и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про характеристические функции
создано: 2017-07-02
обновлено: 2021-03-13
132302



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Термины: Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ