Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое характеристические функции, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое характеристические функции , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .
Одна из наиболее общих форм центральной предельной теоремы была доказана А. М. Ляпуновым в 1900 г. Для доказательства этой теоремы А. М. Ляпунов создал специальный метод характеристических функций. В дальнейшем этот метод приобрел самостоятельное значение и оказался весьма мощным и гибким методом, пригодным для решения самых различных вероятностных задач.
Характеристической функцией случайной величины называется функция
, (13.7.1)
где - мнимая единица. Функция
представляет собой математическое ожидание некоторой комплексной случайной величины
,
функционально связанной с величиной . При решении многих задач теории вероятностей оказывается удобнее пользоваться характеристическими функциями, чем законами распределения.
Зная закон распределения случайной величины , легко найти ее характеристическую функцию.
Если - прерывная случайная величина с рядом распределения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то ее характеристическая функция
(13.7.2)
Если - непрерывная случайная величина с плотностью распределения
, то ее характеристическая функция
. (13.7.3)
Пример 1. Случайная величина - число попаданий при одном выстреле. Вероятность попадания равна
. Найти характеристическую функцию случайной величины
.
Решение. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . По формуле (13.7.2) имеем:
,
где .
Пример 2. Случайная величина имеет нормальное распределение:
. (13.7.4)
Определить ее характеристическую функцию.
Решение. По формуле (13.7.3) имеем:
. (13.7.5)
Пользуясь известной формулой
и имея в виду, что , получим:
. (13.7.6)
Формула (13.7.3) выражает характеристическую функцию непрерывной случайной величины
через ее плотность распределения
. Преобразование (13.7.3), которому нужно подвергнуть
, чтобы получить
называется преобразованием Фурье. В курсах математического анализа доказывается, что если функция
выражается через
с помощью преобразования Фурье, то, в свою очередь, функция
выражается через
с помощью так называемого обратного преобразования Фурье:
. (13.7.7)
Сформулируем и докажем основные свойства характеристических функций.
1. Если случайные величины и
связаны соотношением
,
где - неслучайный множитель, то их
характеристические функции связаны соотношением:
. (13.7.8)
Доказательство:
.
2. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.
Доказательство. Даны - независимые случайные величины с характеристическими функциями
и их сумма
.
Требуется доказать, что
. (13.7.9)
Имеем
.
Так как величины независимы, то независимы и их функции
. По теореме умножения математических ожиданий получим:
,
что и требовалось доказать.
Аппарат характеристических функций часто применяется для композиции законов распределения. Пусть, например, имеются две независимые случайные величины и
с плотностями распределения
и
. Требуется найти плотность распределения величины
.
Это можно выполнить следующим образом: найти характеристические функции и
случайных величин
и
и, перемножив их, получить характеристическую функцию величины
:
,
после чего, подвергнув обратному преобразованию Фурье, найти плотность распределения величины
:
.
Пример 3. Найти с помощью характеристических функций композицию двух нормальных законов:
с характеристиками
;
;
с характеристиками
,
.
Решение. Находим характеристическую функцию величины . Для этого представим ее в виде
,
где ;
.
Пользуясь результатом примера 2, найдем
.
Согласно свойству 1 характеристических функций,
.
Аналогично
.
Перемножая и
, имеем:
,
а это есть характеристическая функция нормального закона с параметрами ;
. Таким образом, получена композиция нормальных законов гораздо более простыми средствами, чем в
12.6.
Информация, изложенная в данной статье про характеристические функции , подчеркивают роль современных технологий в обеспечении масштабируемости и доступности. Надеюсь, что теперь ты понял что такое характеристические функции и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про характеристические функции
Комментарии
Оставить комментарий
Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ
Термины: Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ