Лекция
Сразу хочу сказать, что здесь никакой воды про случайные величины, и только нужная информация. Для того чтобы лучше понимать что такое случайные величины, случайная величина , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .
Одним из важнейших основных понятий теории вероятностей является понятие о случайной величине.
случайная величина (случайная переменная, случайное значение) — это математическое понятие, служащее для представления случайных явлений, когда для них может быть определена их вероятность, то есть мера возможности наступления.
не путать с случайным событием.
Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей. Для обозначения случайной величины в математике принято использовать греческую букву «кси» .
Случайная величина определяется следующим образом. Пусть — вероятностное пространство, — измеримое пространство. Тогда случайной величиной на пространстве элементарных событий со значениями в фазовом пространстве называется измеримая функция .
Примером объектов, для представления состояния которых требуется применение случайных величин являются микроскопические объекты, описываемые квантовой механикой. Случайными величинами описываются события передачи наследственных признаков от родительских организмов к их потомкам (см. Законы Менделя). К случайным относятся события радиоактивного распада ядер атомов.
Существует ряд задач математического анализа и теории чисел для которых участвующие в их формулировках функции целесообразно рассматривать как случайные величины , определенные на подходящих вероятностных пространствах
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.
Примеры случайных величин:
Во всех трех приведенных примерах случайные величины могут принимать отдельные, изолированные значения, которые можно заранее перечислить.
Так, в примере 1) эти значения:
0, 1, 2, 3;
в примере 2):
1,2, 3, 4, …;
в примере 3)
0; 0,1; 0,2; …; 1,0.
Такие случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются прерывными или дискретными случайными величинами.
Существуют случайные величины другого типа, например:
Возможные значения таких случайных величин не отделены друг от друга; они непрерывно заполняют некоторый промежуток, который иногда имеет резко выраженные границы, а чаще – границы неопределенные, расплывчатые.
Такие случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными случайными величинами.
Понятие случайной величины играет весьма важную роль в теории вероятностей. Если «классическая» теория вероятностей оперировала по преимуществу с событиями, то современная теория вероятностей предпочитает, где только возможно, оперировать со случайными величинами.
Приведем примеры типичных для теории вероятностей приемов перехода от событий к случайным величинам.
Производится опыт, в результате которого может появиться или не появиться некоторое событие. Вместо события можно рассмотреть случайную величину , которая равна 1, если событие происходит, и равна 0, если событие не происходит. Случайная величина, очевидно, является прерывной; она имеет два возможных значения: 0 и 1. Эта случайная величина называется характеристической случайной величиной события . На практике часто вместо событий оказывается удобнее оперировать их характеристическими случайными величинами. Например, если производится ряд опытов, в каждом из которых возможно появление события , то общее число появлений события равно сумме характеристических случайных величин события во всех опытах. При решении многих практических задач пользование таким приемом оказывается очень удобным.
С другой стороны, очень часто для вычисления вероятности события оказывается удобно связать это событие с какой-то непрерывной случайной величиной (или системой непрерывных величин).
Рис. 2.4.1.
Пусть, например, измеряются координаты какого-то объекта О для того, чтобы построить точку М, изображающую этот объект на панораме (развертке) местности. Нас интересует событие , состоящее в том, что ошибка R в положении точки М не превзойдет заданного значения (рис. 2.4.1). Обозначим случайные ошибки в измерении координат объекта. Очевидно, событие равносильно попаданию случайной точки М с координатами в пределы круга радиуса с центром в точке О. Другими словами, для выполнения события случайные величины и должны удовлетворять неравенству
. (2.4.1)
Вероятность события есть не что иное, как вероятность выполнения неравенства (2.4.1). Эта вероятность может быть определена, если известны свойства случайных величин .
Такая органическая связь между событиями и случайными величинами весьма характерна для современной теории вероятностей, которая, где только возможно, переходит от «схемы событий» к «схеме случайных величин». Последняя схема сравнительно с первой представляет собой гораздо более гибкий и универсальный аппарат для решения задач, относящихся к случайным явлениям.
Роль случайной величины, как одного из основных понятий теории вероятностей, впервые была четко осознана П. Л. Чебышевым, который обосновал общепринятую на сегодня точку зрения на это понятие (1867) . Понимание случайной величины как частного случая общего понятия функции, пришло значительно позднее, в первой трети 20 века. Впервые полное формализованное представление основ теории вероятностей на базе теории меры было разработано А. Н. Колмогоровым (1933) , после которого стало ясным, что случайная величина представляет собой измеримую функцию, определенную на вероятностном пространстве. В учебной литературе эта точка зрения впервые последовательно проведена У. Феллером (см. предисловие к , где изложение строится на основе понятия пространства элементарных событий и подчеркивается, что лишь в этом случае представление случайной величины становится содержательным).
Распределением вероятностей случайной величины называется функция на сигма-алгебре фазового пространства, определенная следующим образом:
, где (распределение вероятностей представляет собой вероятностную меру в фазовом пространстве ).
В случае, если фазовое пространство случайной величины представляет собой множество вещественных чисел , с борелевской σ-алгебры , то функция распределения равна вероятности того, что значение случайной величины меньше вещественного числа . Из этого определения следует, что вероятность попадания значения случайной величины в интервал [a, b) равна . Преимущество использования функции распределения заключается в том, что с ее помощью удается достичь единообразного математического описания дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных случайных величин. Тем не менее, существуют разные случайные величины, имеющие одинаковые функции распределения. Например, если случайная величина принимает значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью 1/2, то случайные величины и описываются одной и той же функцией распределения F(x).
Если случайная величина дискретная, то полное и однозначное математическое описание ее распределения определяется указанием функции вероятностей всех возможных значений этой случайной величины. Примерами дискретных случайных величин являются величины, имеющие биномиальный и пуассоновский законы распределения.
Случайные функции и в фазовом пространстве называется эквивалентными, если для любого множества события и совпадают с вероятностью единица:
, где операция симметрической разности двух множеств.
Для сепарабельного фазового пространства эквивалентность означает, что величины и совпадают с вероятностью единица, т. е. .
Совместным распределением вероятностей случайных величин на пространстве элементарных событий в соответствующих фазовых пространствах , называется функция , определенная на множествах как
.
Распределение вероятностей как функция на полукольце множеств вида в произведение пространств представляет собой функцию распределения. Случайные величины называются независимыми, если при любых
.
Для всякого семейства распределений в соответствующих фазовых пространствах ( параметр принадлежит произвольному множеству ) существует семейство случайных величин на некотором пространстве элементарных событий в соответствующих фазовых пространствах с распределением независимых между собой (т. е. любые случайные величины , , являются независимыми).
Случайные величины классифицируются и называются в соответствии с типом их фазового пространства. Например:
Пусть — измеримое пространство, множество значений параметра . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Функция параметра , значениями которой являются случайные величины на пространстве элементарных событий в фазовом пространстве , называется случайным процессом в фазовом пространстве . Всевозможные совместные распределения вероятностей значений :
называются конечномерными распределениями вероятностей случайного процесса .
Математическим ожиданием или средним значением случайной величины в линейном нормированном пространстве X на пространстве элементарных событий называется интеграл
( в предположении, что функция является интегрируемой).
Дисперсией случайной величины называется величина, равная:
.
В статистике для дисперсии часто употребляется обозначение или . Величина , равная
называется среднеквадратическим отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом.
Ковариацией случайных величин и называется следующая величина:
=
(предполагается, что математическое ожидание определено).
Если = 0, то случайные величины и называются не коррелированными.
Если , , то величина
называется коэффициентом корреляции случайных величин.
Моментом порядка k случайной величины называется математическое ожидание , абсолютным моментом порядка k называется величина ; центральным моментом порядка k — величина .
Пусть целочисленная случайная величина, принимающая в зависимости от случайного исхода одно из значений с соответствующими вероятностями . Функция переменной , , определяемая формулой
,
называется производящей функцией распределения случайной величины . Она является аналитической функцией от , , и приведенная формула дает ее разложение в степенной ряд. Распределение вероятностей однозначно определяется своей производящей функцией:
где — значение производной в точке z = 0.
Производящая функция при фиксированном совпадает с математическим ожиданием случайной величины :
.
Если случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию , то
,
.
Для производящей функции случайной величины, равной сумме независимых случайных величин — с производящими функциями справедлива следующее:
.
Пусть векторная случайная величина в -мерном действительном пространстве , где борелевская -алгебра. Функция переменной , называется функцией распределения случайной величины ( или функцией совместного распределения величин ). Функция
, где ,
переменной на — мерном действительном пространстве называется характеристической функцией случайной величины (или величин ). Она непрерывна и положительно определена в том смысле, что
для любых и любых чисел при этом . Всякая функция , обладающая указанными свойствами, является характеристической функцией некоторой случайной величины .
И функция распределения и характеристическая функция однозначно определяют распределение вероятностей , , случайной величины .
Если , то в некоторой окрестности точки функция (ветвь логарифма, равная нулю в нуле) непрерывно дифференцируется до порядка . Значение
называется семиинвариантом порядка k.
Пусть — пространство элементарных событий и — некоторая -алгебра, содержащаяся в . Условная вероятность события относительно -алгебры , обозначаемая , определяется как неотрицательная функция от элементарных исходов , , измеримая относительно , для которой
для любых . Функция на множестве элементарных событий определена однозначно для почти всех элементарных исходов и представляет собой плотность распределения , , относительно распределения на -алгебре .
Условная вероятность , рассматриваемая как функция со значениями в нормированном пространстве всех интегрированных (действительных и комплексных) функций на , представляет собой обобщенную меру на -алгебре пространства , вариация которой есть
.
Всякая случайная (действительная или комплексная ) величина , имеющая математическое ожидание (т.е. являющаяся интегрируемой функцией на пространстве с мерой ), интегрируема по отношению к обобщенной мере . Соответствующий интеграл
называется условным математическим ожиданием случайной величины .
В терминах событий для случайной величины и событий и , при условии, что справедлива формула Байеса :
Для полного набора попарно несовместных событий и любого события с учетом формулы полной вероятности :
справедлива теорема Байеса:
.
В разных источниках, используется различная терминология для различных представлений теоремы Байеса.
Если — борелевская функция, а — случайная величина, то ее функциональное преобразование также является случайной величиной. Например, если — стандартная нормальная случайная величина, то случайная величина имеет распределение хи-квадрат с одной степенью свободы. Многие распределения, в том числе распределение Фишера, распределение Стьюдента являются распределениями функциональных преобразований нормальных случайных величин.
Если и с совместным распределением , а — некоторая борелевская функция, то для справедливо :
.
Если , и независимы, то . Применяя теорему Фубини получаем:
и аналогично
.
Если и функции распределения, то функцию
называют сверткой и и обозначают .
Характеристическая функция суммы независимых случайных величин и является фурье-преобразование свертки функций распределения и и равна произведения характеристических функций и :
.
Центральные предельные теоремы (ЦПТ)— класс теорем, утверждающих, что сумма большого количества независимых случайных величин с конечными дисперсиями, вклад в сумму каждой из которых невелик, имеет распределение, близкое к нормальному. Первоисточником исследований в области условий, при выполнений которых распределение суммы случайных величин с увеличением их количества сходится к нормальному стала локальная теорема Муавра — Лапласа.
Задать случайную величину, описав этим все ее вероятностные свойства как отдельной случайной величины, можно с помощью функции распределения, плотности вероятности и характеристической функции, определяя вероятности возможных ее значений.
Примерами дискретной случайной величины могут служить показания спидометра или измерения температуры в конкретные моменты времени.
Все возможные исходы подбрасывания монеты могут быть описаны пространством элементарных событий орел, решка или кратко . Пусть случайная величина равна выигрышу в результате подбрасывания монеты. Пусть выигрыш будет 10 рублей каждый раз, когда монета выпадает орлом, и −33 рубля при выпадении решки. Математически эту функцию выигрыша можно представить так:
Если монета идеальная, то выигрыш будет иметь вероятность, заданную как:
где — вероятность получения рублей выигрыша при одном подбрасывании монеты.
Случайная величина также может быть использована для описания процесса бросания игральных костей, а также для расчета вероятности конкретного исхода таких бросков. В одном из классических примеров данного эксперимента используются две игральные кости и , каждая из которых может принимать значения из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6} (количество очков на сторонах костей). Общее количество очков выпавших на костях и будет значением нашей случайной величины , которая задается функцией:
и (если кости идеальные) функция вероятности для задается через:
,
где — сумма очков на выпавших костях.
Если пространство исходов равно множеству всех возможных комбинаций очков на двух костях, и случайная величина равна сумме этих очков, тогда S — дискретная случайная величина, чье распределение описывается функцией вероятности, значение которой изображено как высота соответствующей колонки.
Пусть экспериментатор тянет наугад одну из карт в колоде игральных карт. Тогда будет представлять одну из вытянутых карт; здесь не число, а карта — физический объект, название которого обозначается через символ . Тогда функция , принимая в качестве аргумента «название» объекта, вернет число, с которым мы будем в дальнейшем ассоциировать карту . Пусть в нашем случае экспериментатор вытянул Короля Треф, то есть , тогда после подставления этого исхода в функцию , мы получим уже число, например, 13. Это число не является вероятностью вытягивания короля из колоды или любой другой карты. Это число является результатом перевода объекта из физического мира в объект математического мира, ведь с числом 13 уже можно проводить математические операции, в то время как с объектом эти операции проводить было нельзя.
Биноминальный закон распределения описывает случайные величины, значения которых определяют количество «успехов» и «неудач» при повторении опыта раз. В каждом опыте «успех» может наступить с вероятностью , «неудача» — с вероятностью . Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли:
.
Если при стремлении к бесконечности произведение остается равной константе , то биномиальный закон распределения сходится к закону Пуассона, который описывается следующей формулой:
,
где
Другой класс случайных величин — такие, для которых существует неотрицательная функция , удовлетворяющая при любых равенству . Случайные величины, удовлетворяющие этому свойству называются непрерывными, а функция называется плотностью распределения вероятностей.
Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Пример непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.
Пусть в одном из экспериментов нужно случайным образом выбрать одного человека (обозначим его как ) из группы испытуемых, пусть тогда случайная величина выражает рост выбранного нами человека. В этом случае, с математической точки зрения, случайная величина интерпретируется как функция , которая трансформирует каждого испытуемого в число — его рост . Для того чтобы рассчитать вероятность того, что рост человека попадет в промежуток между 180 см и 190 см, или вероятность того, что его рост будет выше 150 см, нужно знать распределение вероятности , которое в совокупности с и позволяет рассчитывать вероятности тех или иных исходов случайных экспериментов.
А как ты думаешь, при улучшении случайные величины, будет лучше нам? Надеюсь, что теперь ты понял что такое случайные величины, случайная величина и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ
Комментарии
Оставить комментарий
Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ
Термины: Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ