Моменты случайной величины кратко

Привет, сегодня поговорим про моменты случайной величины, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое моменты случайной величины , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

Момент случайной величины— числовая характеристика распределения данной случайной величины.

Определения

Если дана случайная величина определенная на некотором вероятностном пространстве, то:

• -м нача́льным моментом случайной величины где называется величина

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено;

• -м центра́льным моментом случайной величины называется величина

• -м абсолю́тным и -м центральным абсолютным моментами случайной величины называется соответственно величины

и

• -м факториальным моментом случайной величины называется величина

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.

Абсолютные моменты могут быть определены не только для целых , но и для любых положительных действительных в случае, если соответствующие интегралы сходятся.

Замечания

• Если определены моменты -го порядка, то определены и все моменты низших порядков
• В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Например:

и т. д.

Геометрический смысл некоторых моментов

• равняется математическому ожиданию случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой.
• равняется дисперсии распределения и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.
• , будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение

называется коэффициентом асимметрии.

• контролирует, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего. Величина

называется коэффициентом эксцесса куртозиса распределения

Вычисление моментов

• Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путем интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью имеем:

если

а для дискретного распределения с функцией вероятности

если

• Также моменты случайной величины могут быть вычислены через ее характеристическую функцию :

• Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:

Обобщения

Можно также рассматривать нецелые значения . Момент, рассматриваемый как функция от аргумента , называется преобразованием Меллина.

Можно рассматривать моменты многомерной случайной величины. Тогда первый момент будет вектором той же размерности, второй — тензором второго ранга (см.матрица ковариации) над пространством той же размерности (хотя можно рассматривать и след этой матрицы, дающий скалярное обобщение дисперсии). И т. д.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• [[bb25]]
• случайные события алгебра событий классическое , статистическое определения вероятности события ,
• случайный процесс ,
• числовые характеристики случайных величин ,
• дискретные случайные величины , дсв ,
• Смешанная случайная величина
  
• непрерывные случайные величины , нсв ,

Надеюсь, эта статья про моменты случайной величины, была вам полезна, счастья и удачи в ваших начинаниях! Надеюсь, что теперь ты понял что такое моменты случайной величины и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про моменты случайной величины