Случайный процесс кратко

Привет, сегодня поговорим про случайный процесс, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое случайный процесс , настоятельно рекомендую прочитать все из категории вероятностные процессы.

случайный процесс (вероятностный процесс, случайная функция, стохастический процесс) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.
Другое определение:
Случайным называется процесс u(t), мгновенные значения которого являются случайными величинами.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство . Параметризованное семейство случайных величин

,

где произвольное множество, называется случайной функцией.

Терминология

• Если , то параметр может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция называется случайным процессом. Если множество дискретно, например , то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.

• Если , где , то параметр может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.

Данная классификация нестрогая. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция».

Классификация

• Случайный процесс называется процессом дискретным во времени, если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени , число которых конечно или счетно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
• Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями, если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
• Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени , но не от самих значений этих величин. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Другими словами, случайный процесс называется стационарным, если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным.
• Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если ее математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввел А. Я. Хинчин.
• Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определенного порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом .
• Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.
• Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими.
• Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если для любого набора , где , а ,случайные величины , , , независимы в совокупности.
• Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим.
• Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы.

Траектория случайного процесса

Пусть дан случайный процесс . Тогда для каждого фиксированного — случайная величина, называемая сечением. Если фиксирован элементарный исход , то — детерминированная функция параметра . Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции .

Примеры

• , где называется стандартной гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.
• Пусть , и — случайная величина. Тогда

является случайным процессом.

Функция X(t) называется случайной, если ее значение при любом аргументе t является случайной величиной. Случайные функции времени называют случайными процессами.

Реализацией случайной функции X(t) (выборочной функцией) называется конкретный вид, который она принимает в результате опыта. Реализация случайного процесса может рассматриваться как элемент множества возможных физических реализаций случайного процесса (рис. 5.8). Совокупность реализаций случайного процесса называется ансамблем реализаций. Совокупность значений реализаций в фиксированный момент времени (выборка случайных значений) называется сечением случайного процесса.

Рис. 5.8. Реализации случайного процесса

В любом сечении случайный процесс есть случайная величина.

Математическое ожидание случайного процесса есть функция времени

(5.10)

Второй центральный момент для двух сечений случайного процесса называется ковариационной функцией

(5.11)

где – центрированный случайный процесс.

При t = t′ ковариационная функция равна дисперсии случайного процесса

(5.12)

Математическое ожидание и ковариационная функция случайного процесса могут быть найдены по реализациям случайного процесса – осреднением по реализациям:

(5.13)

где N – число реализаций случайного процесса.

Если математическое ожидание и ковариационная функция не зависят от времени t, то процесс является стационарным:

(5.14)

где τ = t′ – t. В (5.14) ковариационная функция зависит только от величины τ, а не от места его расположения на оси времени (рис. 5.9).

Рис. 5.9. Время между двумя сечениями случайного процесса

Возможный вид ковариационной функции показан на рис. 5.10.

Во многих случаях используется нормированная ковариационная (или корреляционная) функция. Для стационарного случайного процесса

(5.15)

Величина корреляционной функции |r_X(τ)| ≤ 1.

Возможно осреднение по времени отдельных выборочных функций (реализаций). Для k-й выборочной функции имеем:

(5.16)

Рис.5.10. Ковариационная функция случайного процесса

Если случайный процесс X(t) стационарен и характеристики m_X и R_X(τ) одинаковы для различных выборочных функций, то такой процесс называют эргодическим.

Эргодические процессы представляют важный класс случайных процессов.

Нестационарными случайными процессами являются все случайные процессы, не обладающие свойствами стационарности. Эти процессы сложны в исследованиях, и зачастую в задачах по анализу их разбивают на интервалы стационарности или приближенно аппроксимируют стационарными процессами.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Случайная величина
• Цепь Маркова
• Марковский процесс
• Немарковский процесс

Надеюсь, эта статья про случайный процесс, была вам полезна, счастья и удачи в ваших начинаниях! Надеюсь, что теперь ты понял что такое случайный процесс и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории вероятностные процессы

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про случайный процесс