2.2. Функция восстановления и ее свойства кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое функция восстановления и ее свойства , Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое функция восстановления и ее свойства , настоятельно рекомендую прочитать все из категории вероятностные процессы.

2.2. функция восстановления и ее свойства

Обозначим для простого процесса восстановления через H(t)=Mξ(t) математическое ожидание числа восстановлений, произошедших до момента t, t>=0. Это математическое ожидание будем далее называть функцией восстановления. Тогда по определению математического ожидания имеем

(2.2)

Очевидно, все траектории процесса восстановления являются неубывающими функциями, поэтому неубывающей будет и функция восстановления,

Обозначим через B_k(t)={t_k0, событие, состоящее в том, что на интервале (0,t) произойдет, по крайней мере, k восстановлений. Так как по определению

и в силу того, что случайные величины ξ_k положительны, между событиями B_k(t)={t_k0 справедливы соотношения B_k(t)⊃B_k+1(t), то есть выполнение события B_k+1(t) влечет за собой выполнение события B_k(t). Тогда

причем события, стоящие в правой части этого равенства, несовместны. Следовательно, получаем

P{t_kk+1>=t}= P{t_kk+1ξ(t)=k}, (2.3)

так как событие {t_kk+1>=t} означает, что на интервале (0,t) произойдет ровно k, k>=0 восстановлений, то есть {t_kk+1>=t}={ξ(t)=k} .

Докажем лемму о представлении и существовании функции восстановления.

ЛЕММА 2.1. Если для распределения F(t), определяющего простой процесс восстановления, существует x>0 такое, что F(x)<1, то для любого конечного t, 0∞, функция восстановления конечна, H(t)<∞, и

, (2.4)

где через F^(k)(t) обозначена k-кратная свертка распределения F(t), F⁽¹⁾(t)=F(t).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению F^(k)(t)=P{t_k. Следовательно, подставляя (2.3) в (2.2) и учитывая, что сумма ряда есть предел частных сумм, получаем

. (2.5)

Для любых t>0, x>0 найдется целое k, k>0, для которого (k-1)x<= kx. Имеет место следующее очевидное соотношение между событиями

, (2.6)

поскольку и случайные величины ξ_j неотрицательны. Из последнего соотношения для событий в силу независимости случайных величин ξ_j и неравенства F(x)<1 получаем оценку для свертки

F^(k)(t)<=1-[1-F(x)]^k<1, k>0. (2.7)

Заметим, что в (2.7) величины x, t и k связаны соотношением где символом [α] обозначена целая часть числа α. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . По определению целой части справедливо неравенство [α]<=α. Причем отметим, что при t>0, x>0 параметр k>0.

Далее имеем. Случайные величины ξ_j неотрицательны, поэтому F⁽ⁿ⁾(t)<=F^(m)(t) при n>m.

Последнее неравенство вытекает из следующего утверждения (более подробно см. доказательство леммы 2.3):

если при любом t>0 имеет место неравенство для двух распределений положительных случайных величин , то, так как

.

При m>0 обозначим и целую часть отношения, k>0. Из этого определения следует неравенство , так как .

Тогда справедлива цепочка неравенств

(2.8)

При выводе (2.8) использованы следующие свойства случайных величин:

• • Случайные величины ξ_j неотрицательны, поэтому F⁽ⁿ⁾(t)<=F^(m)(t) при n>m;
  • Случайные величины ζ_т независимы, одинаково распределены, P{ζ_т^(k)(t);
  • Для случайных величин ζ_т справедливы неравенства, .
  • 

Тогда из (2.8) и неравенства n<=β(n,k)+1 (по определению целой части числа) получаем оценку

nF⁽ⁿ⁺¹⁾(t)<=[β(n,k)+1][1-[1-F(x)]^k]^β(n,k). (2.9)

Очевидно, β(n,k)→∞ при n→∞. Следовательно, неравенства (2.8) и (2.9) доказывают лемму, так как ряд (2.4) сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q=1-[1-F(x)]^k<1, и, следовательно, предельное соотношение lim_n→∞nF⁽ⁿ⁺¹⁾(t)=0 выполняется (показательная функция стремится к нулю быстрее, чем степенная к бесконечности). Отметим одно важное обстоятельство - поскольку оценка (2.8) не зависит от t, то ряд (2.4) сходится на любом конечном интервале равномерно. Лемма доказана.*

Итак, условия существования функции восстановления связаны с поведением функции распределения F(t) интервалов между соседними моментами восстановления - оно не должно иметь единичного скачка в нуле, то есть исключается случай распределения, сосредоточенного в нуле.

Если не выполняется это ограничение, то можно утверждать, что процесс не развивается во времени. В самом деле, тогда при любом положительном t и k>=0 имеем P{ξ(t)=k}=0. Следовательно, все моменты восстановления совпадают с нулем, и процесс восстановления не развивается во времени. В дальнейшем специально это условие оговаривать не будем, считая его выполненным.

Из соотношения (2.3) следует при любом положительном t, поскольку (здесь считаем F⁽⁰⁾(t)=1 при t>0, поскольку t₀=0). Тогда равенство

понимается как следующее свойство процесса восстановления: на любом конечном интервале времени с вероятностью единица происходит конечное число восстановлений.

Теперь перейдем к анализу процесса восстановления с запаздыванием. Обозначим для процесса восстановления с запаздыванием, определяемого парой распределений {F₁(t),F(t)}, через H₁(t)=Mξ₁(t) функцию восстановления - математическое ожидание числа восстановлений, произошедших до момента t, t>=0. Тогда для нового процесса восстановления в силе остаются соотношения (2.2) и (2.3). Условия леммы относительно функции F(t) сохраняются, утверждение (2.4) сохраняется.

Чтобы отделить рассматриваемый случай от предыдущего, обозначим . Тогда равенство (2.4) принимает вид

. (2.10)

Соотношение (2.6) не меняется, только изменяется распределение случайной величины ξ₁, и поэтому изменяется оценка для функции

Изменение этой оценки не влияет на сходимость ряда (2.10) и на окончательные выводы. Таким образом, и для существования функции восстановления процесса восстановления с запаздыванием необходимо исключить случай единичного скачка функции распределения F(t) в нуле.

По определению дифференциал функции есть главная часть ее приращения. Для функции распределения F(x)=P{ξслучайной величины ξ он с точностью до o(Δ) совпадает с вероятностью

P{x<=ξΔ}=F(x+Δ)-F(x)=dF(x)+o(Δ) при Δ→0.

Введем следующие обозначения:

• • A(x,Δ) - событие, состоящее в том, что в интервале [x,x+Δ) произошло восстановление,
  • - событие, состоящее в том, что в интервале [x,x+Δ) произошло восстановление с номером n,
  • B_n(x,Δ) - событие, состоящее в том, что в интервале [x,x+Δ) произошло восстановление с номером, меньшим n+1.

Очевидны соотношения

Следовательно,

. (2.11)

Если использовать равенство (2.11), то дифференциалу функции восстановления можно дать новую интересную интерпретацию.

Заметим, что при k справедливо включение событий . Это соотношение выполняется, так как, если в интервале [x,x+Δ) произошло k-ое и j-ое восстановление, то (k+1)-ое восстановление также произошло в этом интервале. Отсюда

Так как , получаем двустороннюю оценку, которую можем записать с учетом двусторонней оценки для вероятности суммы событий (математическое приложение 1),

Тогда

При n→∞ получаем оценку

[1-F(Δ)][H(x+Δ)-H(x)]<= lim_n→∞ P{B_n(x,Δ)}=P{A(x,Δ)}<= [H(x+Δ)-H(x)]. (2.12)

Вывод. Если функция распределения F(x) непрерывна в нуле, то приращение функции восстановления в точке x или ее дифференциал можно интерпретировать как вероятность иметь восстановление (неважно какое по счету) в некоторой бесконечно малой окрестности точки x.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Случайная мера Пуассона
• случайный процесс
• случайные блуждания
• процесс восстановления
• модель Крамера-Лундберга
• эмпирические меры
• пуассоновская случайная мера

Представленные результаты и исследования подтверждают, что применение искусственного интеллекта в области функция восстановления и ее свойства имеет потенциал для революции в различных связанных с данной темой сферах. Надеюсь, что теперь ты понял что такое функция восстановления и ее свойства и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории вероятностные процессы