Стохастический интеграл Интеграл Ито, Винера, Стратоновича и его свойства кратко

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про интеграл ито, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое интеграл ито, стохастическое исчисление ито, стохастический интеграл, интеграл винера, интеграл стратоновича , настоятельно рекомендую прочитать все из категории вероятностные процессы.

стохастический интеграл — интеграл вида , где — случайный процесс с независимыми нормальными приращениями. Стохастические интегралы широко используются в стохастических дифференциальных уравнениях. Стохастический интеграл нельзя вычислять как обычный интеграл Стилтьеса.

Стохастический интеграл от детерминированной функции

Стохастический интеграл можно определить при помощи сумм . Интеграл получается, как и у интеграла Стилтьеса, переходом к пределу: .

Стохастический интеграл от стохастического процесса

Рассмотрим интеграл , где — винеровский процесс с единичным параметром дисперсии. Разделим интервал точками на подинтервалов. Используя предыдущее определение интеграла для детерминированной функции, стохастический интеграл можно определить любым из двух выражений: , или . Эти интегралы не равны, поскольку, по определению винеровского процесса: . Обобщенный стохастический интеграл можно определить как взвешенную по параметру сумму интегралов и следующей формулой: , при . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Интеграл соответствует интегралу Ито, а совпадает с интегралом Стратоновича.

Интеграл Стратоновича

Интеграл Стратоновича имеет вид: .

интеграл ито

Интеграл Ито имеет вид: . Его основные свойства: , .

Сформулируем некоторые его свойства:

интеграл винера

Поставим в соответствие каждой траектории одномерного винеровского процесса некоторое число . Тогда эту траекторию можно описать посредством стохастической функции . Интеграл вида называется стохастическим интегралом Винера. Этот интеграл вычисляется аналогично интегрированию по частям: . Его основные свойства: , .

стохастическое исчисление ито

Исчисление Ито — математическая теория, описывающая методы манипулирования со случайными процессами, такими как броуновское движение (или винеровский процесс). Названа в честь создателя, японского математика Киеси Ито. Часто применяется в финансовой математике и теории стохастических дифференциальных уравнений. Центральным понятием этой теории является интеграл Ито

записывающийся также в виде , где — броуновское движение или, в более общей формулировке, полумартингал. Можно показать, что путь интегрирования для броуновского движения нельзя описать стандартными техниками интегрального исчисления. В частности, броуновское движение не является интегрируемой функцией в каждой точке пути и имеет бесконечную вариацию по любому временному интервалу. Таким образом, интеграл Ито не может быть определен в смысле интеграла Римана — Стилтьеса. Однако, интеграл Ито можно определить корректно, если заметить, что подынтегральная функция есть адаптивный процесс; это означает, что зависимость от времени его среднего значения определяется поведением только до момента .

Обозначения

Интегрирование броуновского движения

Процесс Ито[править | править код]

Семимартингалы, как интеграторы

где , - последовательность разбиений интервала [0, t] с длиной подынтервалов стремящейся к нулю.

Свойства

Интегрирование по частям

Лемма Ито Формула Ито

Мартингалы-интеграторы

Локальные мартингалы

Квадратично интегрируемые мартингалы

p-интегральные мартингалы

Стохастическая производная

and

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Винеровский процесс
• Стохастическое исчисление Ито
• Стратонович, Руслан Леонтьевич

Я хотел бы услышать твое мнение про интеграл ито Надеюсь, что теперь ты понял что такое интеграл ито, стохастическое исчисление ито, стохастический интеграл, интеграл винера, интеграл стратоновича и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории вероятностные процессы

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про интеграл ито