Процесс восстановления - как случайный процесс 2.1. Определение процесса восстановления кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое процесс восстановления, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое процесс восстановления , настоятельно рекомендую прочитать все из категории вероятностные процессы.

2.1. Определение процесса восстановления

Математическая модель, которая в математической литературе [1,2,4,5] получила название процесс восстановления , является частным случаем случайного процесса (случайного потока однородных событий) ξ(t), для которого область значений есть неотрицательные целые числа E={0,1,...,n,...}, ξ(t)∈E, и все траектории являются неубывающими ступенчатыми функциями. Такой случайный процесс можно задать, задавая совместное распределение случайной последовательности {t_n=t_n(ω), 1<=n<∞}, которая определяет моменты скачков, номер n задает номер скачка случайного процесса ξ(t) [5, стр.27]. Отметим, что это распределение может быть таково, что с положительной вероятностью совпадают моменты t_n(ω) при различных n. Следовательно, не исключается случай, когда траектории случайного процесса ξ(t) имеют скачки, большие единицы (группа единичных скачков), а нумерация скачка в группе не является существенной.

Итак, определим случайный процесс ξ(t) как число скачков, произошедших до момента t (при таком определении траектории процесса непрерывны слева). Очевидно, что процесс ξ(t) можно задать, задавая совместное распределение случайной последовательности

{ξ_n=t_n-t_n-1, t₀=0, 1<=n<∞}

интервалов между моментами соседних скачков. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . При этом, учитывая предыдущее замечание о величине скачков, не исключается случай, когда с положительной вероятностью случайная величина ξ_n равна нулю, P{ξ_n=0}>0, то есть функция распределения случайной величины ξ_n может иметь положительный скачок в нуле.

Теперь перейдем к частным определениям.

Ступенчатый случайный процесс ξ(t), определяемый последовательностью {ξ_n=t_n-t_n-1, t₀=0, 1<=n<∞}, называется потоком с ограниченным последействием, если случайные величины {ξ_n, 1<=n<∞} взаимно независимы.

Из этого определения следует, что в момент скачка случайного процесса ξ(t), если известен номер скачка, будущее поведение этого процесса в вероятностном смысле не зависит от прошлой траектории. Из определения следует также, что, для того чтобы задать поток с ограниченным последействием, достаточно задать последовательность функций распределения F_k(t)=P{ξ_k0, для которых F_k(t)=0 при t<=0 (в силу неотрицательности интервалов ξ_k).

Поток с ограниченным последействием, для которого при t>0

F_k(t)=F(t), k=2,3,..., F₁(t)≠ F(t) (2.1)

называется рекуррентным потоком с запаздыванием или процессом восстановления с запаздыванием. Из определения процесса восстановления с запаздыванием следует, что он задается парой функций распределения {F₁(t),F(t)} - распределением интервала до первого скачка и распределением всех последующих интервалов.

Поток с ограниченным последействием, для которого F_k(t)=F(t), k=1,2,….. , называется рекуррентным потоком или простым процессом восстановления. Таким образом, часто простой процесс восстановления можно определить как последовательность независимых положительных одинаково распределенных случайных величин, задаваемых распределением F(t), F(0)=0.

Теперь можно пояснить принятую терминологию. Предположим, что имеется набор идентичных элементов, времена жизни которых ξ_k распределены по одному и тому же закону F(t). В момент времени t₀=0 включается в работу первый элемент, а в момент его отказа t₁=ξ₁ он мгновенно заменяется (восстанавливается) на новый идентичный элемент. Далее новый элемент функционирует до календарного момента t₂=ξ₁+ξ₂ – момента отказа второго элемента, затем мгновенная замена на следующий элемент и так далее. Таким образом, получаем модель замен (восстановлений), которая называется процессом восстановления, а последовательность {t_n=t_n(ω), 1<=n<∞} называется последовательностью моментов восстановления.

Используя выше приведенную терминологию, далее будем исследовать случайные процессы ξ(t) и ξ₁(t), определяемые как число восстановлений, произошедших до момента t, t>=0, простого процесса восстановления и процесса восстановления с запаздыванием соответственно.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Случайная мера Пуассона
• случайный процесс
• случайные блуждания
• процесс восстановления
• модель Крамера-Лундберга
• эмпирические меры
• пуассоновская случайная мера

Представленные результаты и исследования подтверждают, что применение искусственного интеллекта в области процесс восстановления имеет потенциал для революции в различных связанных с данной темой сферах. Надеюсь, что теперь ты понял что такое процесс восстановления и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории вероятностные процессы