Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры

Лекция



Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про марковские моменты, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое марковские моменты, момент остановки , настоятельно рекомендую прочитать все из категории вероятностные процессы.

Марковский момент времени (в теории случайных процессов) — это случайная величина, не зависящая от будущего рассматриваемого случайного процесса.

Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры
Пример времени остановки: а время удара по броуновское движение . Процесс начинается с 0 и останавливается, как только достигает 1.

Дискретный случай

Пусть дана последовательность случайных величин Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры. Тогда случайная величина Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры называется марковским моментом (времени), если для любого Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры событие Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры зависит только от случайных величин Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.

Пример

Пусть Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры — последовательность независимых нормальных случайных величин. Пусть Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, и

Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры

— момент первого достижения процессом Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры уровня Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры. Тогда Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры — марковский момент, ибо Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры тогда и только тогда, когда существует Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры такое, что Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры. Таким образом событие Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры зависит лишь от поведения процесса до момента времени Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.

Пусть теперь

Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры

— момент последнего достижения процессом Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры уровня Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры. Тогда Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры не является марковским моментом, ибо событие Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры предполагает знание поведения процесса в будущем.

Общий случай

  • Пусть дано вероятностное пространство Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры с фильтрацией Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, где Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры. Тогда случайная величина Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры принимающая значения в Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры называется марковским моментом относительно данной фильтрации, если Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.
  • Если дан процесс Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, и Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры — его естественные σ-алгебры, то говорят, что Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры — марковский момент относительно процесса Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.
  • Марковский момент называется моментом остановки, если он конечен почти наверное, то есть

Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.

Свойства

Если Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры и Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры марковские моменты , то

  • Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры — марковский момент;
  • Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры — марковский момент;
  • Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры — марковский момент.

Замечание: момент остановки может не иметь конечного математического ожидания.

Пример

Пусть Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры — стандартный винеровский процесс. Пусть Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры. Определим

Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.

Тогда Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры — марковский момент, имеющий распределение, задаваемое плотностью вероятности

Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.

В частности Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры — момент остановки. Однако,

Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.

Марковские моменты.

3.1. Определение. Пусть Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры - случайная величина Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры называется марковским моментом, если Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры для Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.

Конечный марковский момент называется моментом остановки (т. е. Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры).

Пример. Пусть Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры непрерывен справа со значениями в Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры тогда момент первого достижения уровня Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры: Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, является марковским моментом.

Теорема 10. 1) Пусть Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры - марковский момент, тогда Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры
2) Пусть Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры - марковский момент, тогда Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.

Доказательство. 1) Так как Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры - марковский момент, то Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры. Отсюда при Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры получаем Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.

2) Так как Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, то из пункта 1) получаем утверждение. Доказательство закончено.

Теорема 11. Если Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры и Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры - марковские моменты, то: 1) Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры - марковский момент, 2) Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры - марковский момент.

Докажите самостоятельно.

3.2. Возникает естественный вопрос: при каких условиях случайная величина Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры является марковским моментом?

Теорема 12. Случайная величина Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры - марковский момент, если Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры для Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.

Доказательство. Так как Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры - случайная величина, то Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Докажем, что Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры. Из определения случайной величины следует, что Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры Пересечем все эти множества, имеем Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, для Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры. Поэтому в силу условий теоремы имеем Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.Доказательство закончено.

Теорема 13. Если есть два марковских момента, то Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры и Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры - марковские моменты.

Докажите самостоятельно.

3.3. Определение. Пусть Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры— марковские моменты (м. м.), причем Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры Р - п. н.. Множества
Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры
называются, соответственно, открытым справа, открытым слева, открытым справа и слева, за­мкнутым стохастическими интервалами и обозначаются, соответственно, через Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры

Через Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры обозначим множество Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры и назовем его графиком марковского момента Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.

Задача. Докажите, что Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.

3.4. Определение. Случайное множество А называется тонким, если оно имеет вид Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, где Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры - последовательность моментов остановки. Если, кроме того, последовательность Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры такая, что Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры при Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, то такую последовательность назовем исчерпывающей множество A.

Теорема 14. Тонкое множество А и все его Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примерысечения Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры не более чем счетны, кроме того, существует исчерпывающая последовательность моментов остановки.

3.5. Определение. Случайный процесс Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры называется остановленным если Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.

Определение. Пусть последовательность марковских моментов такая, что Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, причем Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры Р -п. н. для Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры и пусть
Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры Р - п. н.. Такую последовательность назовем Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примерылокализующей (Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры). Если же Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, то последовательность Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры назовем локализующей.

Определение. Случайный процесс Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примерыназывается Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примерылокальным мартингалом , если существует Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примерылокализующая последовательность Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры марковских моментов такая, что для Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры Р - п. н. Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.

Аналогичным образом определяются локальные субмартингал и супермартингал.

Теорема 15. Пусть Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры - локальный мартингал относительно меры Р. Тогда Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры - супермартингал (относительно меры Р).

Доказательство. Так как Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры Р — п.н. для Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, где Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры - локализующая последовательность, то в силу леммы Фату Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.
Доказательство закончено.

3.6. Займемся теперь классификацией марковских моментов.

3.6.1. Определение. Марковский момент Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры называется предсказуемым, если существует последовательность марковских моментов Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примерытакая, что: а) Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры Р - п. н., б) Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры Р - п. н., при этом последовательность Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры называют предвещающей марковский момент Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.

Пример. Пусть Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примерымомент остановки, а Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры. Ясно, что Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примерымомент остановки, более того Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примерыпредсказуемый момент остановки, так как Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры предвещает последовательность Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, где Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры

Определение. Марковский момент Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры называют достижимым, если существует предсказуемая последовательность Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры марковских моментов таких, что Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры Р - п. н., т. е. Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры

3.6.2. Определение. Марковский момент называется недостижимым (вполне или тотально недостижимым) или опциональным, если для каждого предсказуемого момента остановки Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры Р - п. н. .

Задача. Докажите, что если Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примерымарковский момент одновременно достижим и тотально не достижим, то Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры Р - п. н..

Теорема 16. Марковский момент Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры- опционален тогда и только тогда, когда существует последовательность моментов остановки Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры такая, что: а) Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры Р - п. н. для Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, б) Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры Р - п. н..

Докажите самостоятельно.

Очевидно следующее утверждение.

Теорема 17. Пусть Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры — опциональный марковский момент. Тогда для любой предсказуемой последовательности марковских моментов Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры

Задача. Докажите, что момент времени в который происходит первый скачок пуассоновского процесса Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры является опциональным марковским моментом.

Теорема 18. Пусть Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры где Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, и стохастические интервал вида Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, где Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры - опциональные марковские моменты, порождают Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примерыалгебру Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.

Доказательство. Сначала заметим, что Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры - это предсказуемый момент остановки равный нулю на Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры и бесконечности на Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры. Значит Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры. Очевидно, что Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры. Заметим, что Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примерыпредсказуемым м. о., поэтому Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, следовательно Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.

Рассмотрим интервал Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, где Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры- предсказуемый м.о. Нам надо показать, что этот интервал принадлежит Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примерыалгебре порожденной выше рассмотренными интервалами. Действительно, поскольку Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, а для последовательностей Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, предвещающей Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры на множестве Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, имеем Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры Отсюда следует утверждение теоремы.

Примеры и применение

Чтобы проиллюстрировать некоторые примеры случайных моментов, когда правила останавливаются, а некоторые - нет, рассмотрим игрока, играющего в рулетку с типичным преимуществом казино, начиная со 100 долларов и делая ставку 1 доллар на красное в каждой игре:

  • Ровно пять игр соответствуют времени остановки τ = 5 и являются правилом остановки.
  • Играть, пока у него не закончатся деньги или не сыграет 500 игр, является правилом остановки.
  • Игра до тех пор, пока он не наберет максимальное количество очков впереди, не является правилом остановки и не предусматривает время остановки, поскольку требует информации о будущем, а также о настоящем и прошлом.
  • Игра до тех пор, пока он не удвоит свои деньги (занимая при необходимости) , не является правилом остановки, поскольку существует положительная вероятность того, что он никогда не удвоит свои деньги.
  • Игра до тех пор, пока он не удвоит свои деньги или не закончатся деньги, является правилом остановки, даже если потенциально нет ограничения на количество игр, которые он играет, поскольку вероятность того, что он остановится через конечное время, равна 1.

Чтобы проиллюстрировать более общее определение остановки времени, рассмотрим броуновское движение , которое является случайным процессом.Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, где каждый Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры - случайная величина, определенная на вероятностном пространстве Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры. Мы определяем фильтрацию на этом вероятностном пространстве, позволяяФильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры- σ -алгебра, порожденная всеми множествами видаФильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры куда Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры и Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры- борелевское множество . Интуитивно понятно, что событие E находится вФильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примерытогда и только тогда, когда мы можем определить, истинно или ложно E, просто наблюдая за броуновским движением от времени 0 до момента t .

  • Каждая константа Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры(тривиально) время остановки; это соответствует правилу остановки "остановить вовремяФильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры".
  • Позволять Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры потом Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры- время остановки для броуновского движения, соответствующее правилу остановки: «остановитесь, как только броуновское движение превысит значение a ».
  • Другое время остановки задается Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры. Это соответствует правилу остановки: «остановитесь, как только броуновское движение станет положительным на непрерывном участке длиной 1 единицу времени».
  • В общем, если τ 1 и τ 2 являются временами остановки наФильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры тогда их минимум Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, их максимум Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры, и их сумма τ 1 + τ 2 также являются моментами остановки. (Это неверно для различий и продуктов, потому что они могут потребовать «заглянуть в будущее», чтобы определить, когда остановиться.)

Время попадания, подобное приведенному выше второму примеру, может быть важным примером времени остановки. Хотя относительно просто показать, что, по существу, все времена остановки - это времена попадания , может быть намного сложнее показать, что определенное время достижения является временем остановки. Последние типы результатов известны как теорема Дебю .

Типы времени остановки

Моменты остановки с установленным индексом времени I = [0, ∞) часто делятся на один из нескольких типов в зависимости от того, можно ли предсказать, когда они вот-вот произойдут.

Время остановки τ является предсказуемым , если она равна пределом возрастающей последовательности моментов остановки т п , удовлетворяющий т п < т , когда τ > 0. Последовательности τ п называется объявить τ и предсказуемые времена остановочных иногда называют анонсируемый . Примерами прогнозируемого времени остановки являются время срабатывания непрерывных и адаптированных процессов. Если τ - это первый раз, когда непрерывный и вещественнозначный процесс X равен некоторому значению a, то это объявляется последовательностью τ n , где τ n - это первый момент, когда X находится на расстоянии 1 / n от a .

Доступное время остановки - это время, которое может быть покрыто последовательностью предсказуемых времен. То есть время остановки τ доступно, если P ( τ = τ n для некоторого n ) = 1, где τ n - предсказуемые времена.

Стопорное время τ является абсолютно недоступным , если она никогда не может быть объявлена возрастающей последовательностью времени остановки. Эквивалентно, P ( τ = σ <∞) = 0 для каждого предсказуемого времени σ . Примеры полностью недоступных времен остановки включают времена скачков пуассоновских процессов .

Каждый момент остановки τ можно однозначно разложить на доступное и полностью недоступное время. То есть существует единственный доступный момент остановки σ и полностью недоступный момент υ такие, что τ = σ, если σ <∞, τ = υ, если υ <∞, и τ = ∞, если σ = υ = ∞. Обратите внимание, что в формулировке этого результата разложения времена остановки не обязательно должны быть почти наверняка конечными и могут равняться ∞.

Правила остановки в клинических испытаниях

Клинические испытания в медицине часто проводят промежуточный анализ, чтобы определить, достигли ли испытания уже своих конечных точек. Однако промежуточный анализ создает риск ложноположительных результатов, и поэтому границы остановки используются для определения количества и времени промежуточного анализа (также известного как альфа-расход, чтобы обозначить частоту ложноположительных результатов). В каждом из R промежуточных тестов испытание останавливается, если вероятность ниже порогового значения p, которое зависит от используемого метода.

Задачи для самостоятельного решения

1. Пусть задана фильтрация Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры — марковские моменты относительно F.

Докажите, что

Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры

тоже являются марковскими моментами относительно F.

2. Дана фильтрация Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры и марковские моменты τ и σ относительно нее. Для τ определим сигма-алгебру

Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры. Докажите, что если

Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

  • Оптимальная остановка
  • Алгоритм коэффициентов
  • Проблема секретаря
  • Время попадания
  • Остановленный процесс
  • Проблема расстройства
  • Теорема Дебю
  • Последовательный анализ

Напиши свое отношение про марковские моменты. Это меня вдохновит писать для тебя всё больше и больше интересного. Спасибо Надеюсь, что теперь ты понял что такое марковские моменты, момент остановки и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории вероятностные процессы

создано: 2014-09-29
обновлено: 2021-03-13
132684



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

вероятностные процессы

Термины: вероятностные процессы