Конечномерные распределения процесса. теоремы Колмогорова о согласованных распределениях . Условия согласованности мер

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про Конечномерные распределения процесса. теоремы Колмогорова о согласованных распределениях . Условия согласованности мер, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое Конечномерные распределения процесса. теоремы Колмогорова о согласованных распределениях . Условия согласованности мер , настоятельно рекомендую прочитать все из категории вероятностные процессы.

Конечномерные распределения процесса.

Пусть семейство мер Рт, т = (?]_,..., ?п), на пространствах (En, S^iW1)) индексируется не совпадающими друг с другом точками t\,..., tn (варьируются п Е N
и ti,..., tn из Т). Обозначим ipT = (рт(\) характеристическую функцию меры Рт.
Если меры Рт — конечномерные распределения процесса X = {Х(?), t G Г}, то
тогда ipT может быть представлена в виде:
>т(А) = Е ехр(г ^ X
А = (Аь ..., Ап) е ВГ. B8)
Отсюда видно, что характеристическая функция Оказывается, эти простые условия в точности эквивалентны условиям симметрии и согласованности мер 1° и 2° (см. § 11).

Теорема 5. Для симметрии и согласованности мер РТ; г = (ti,..., tn) G Tn, заданных на пространствах (En, ^(En))n^i, необходимо и достаточно, чтобы
для любых A G ln, r G Тп и п ^ 2, одновременно выполнялись следующие два условия:
(а) ^
где отображения ф, Ф, в и О определены в § 13 (с St = E, t G Г), а (ОА, 0) =
= (Ai,..., An_Li, 0) для А = (Ai,..., An) G E™.
Доказательство. В силу взаимно-однозначного соответствия между мерами на
(En, S^iW1)) и характеристическими функциями условия (А) и (В) леммы 10 равносильны тому, что при п ^ 2
^rW=VPr*-i(A), AGE", B9)
?>eTM=?>Pre-iM, ^K1 C0)
(напомним, что <рТ = <^р ) • По лемме 8 найдется случайный вектор YT со значениями
в Ж™, такойчто Рт = Рут. Тогда Рт-Ф-1-1 есть распределение вектора ФУ,-, поскольку
€ Б). Далее,
?»ФУт(А) = Е ехр{г(ФУт,Л)} = Е ехр{г(Ут,Ф*А)} = ^(Ъ^Х), C1)

где мы отождествили Ф с ортогональной матрицей, задающей это отображение (тогда Ф* = ф-11, Ф* — транспонированная матрица Ф). Согласно C1) условие B9)
принимает вид (p^T(\) = (^Т(ф-11Л), Л Е Еп, что эквивалентно условию (а).
Аналогично,
Е exp{i@FT,/i)} =
Е exp{i(FT, (
C2)
Таким образом, C0) равносильно условию (b). D
Замечание 4. Пусть X = {(Xi(t),... ,Xm(t)), t G T} — (векторный) случайный процесс со значениями в Ет. Для произвольного п Е N и любых t\,..., tn G T
рассмотрим вектор 6b...,tn = №(*i), • • • ,Xm(ti),... ,Xi(?n),... ,Xm(tn)), имеющий на Зе (Emn) распределение Ptx,... ,tn c характеристической функцией 0ti,... ,tn (А),
= (A^
^m)
гдеЛ = (Аь... ,An), Aj = (A^,... ,A^-m)) G Em, j = l,...,n. Теорема 5 верна и для
векторного случая (для мер Рт, заданных на пространствах (Em
В этом (векторном) случае в условии (а) одновременно переставляются ti,..., tn и
Ai,..., Ап, а в условии (Ь) вектор Ап приравнивается нулю в Ет.

Формулировка теоремы Колмогорова о согласованных распределениях (доказательство необходимости условий).

замечательна теорема Колмогорова (впервые опубликованная в 1933 году в его монографии "Основные понятия теории вероятностей" на немецком языке;
см. также на русском языке [34]), для формулировки которой понадобится следующее определение.

Определение 8. Измеримые пространства (S, S&) и (V, si) называются изоморфными (пишем (S, Й§) ~ (V, si)), если существует взаимно-однозначное отображение
h: S —У V такое, что h G Зе \ sd и Н±г G sd \ е&. Если V — борелевское подмножество отрезка [0,1] иsdесть сг-алгебраборелевскихподмножеств V (т.е. «с/ = Vn5S([0,1])), то изоморфное ему пространство (S, Ж) называется борелевским пространством.

Напомним, что топологическое пространство (S, Й§) называется польским, если имеется метрика, превращающая S в полное сепарабельное метрическое пространство. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Польским, например, будет пространство Ет с евклидовой метрикой. Известно (см., например, [41; том 1]), что любое борелевское подмножество польского пространства с сг-алгеброй своих борелевских подмножеств является борелевским пространством.

Теорема 4 (Колмогоров). Пусть (St,8$t)teT — семейство борелевских пространств. Пусть на пространствах (St1,...,tnJ^ti,...,tn)J где п G N и несовпадающие друг с другом точки ti,..., tn G Т, заданы меры Ptb...,tn, удовлетворяющие условиям симметрии и согласованности 1° и 2° (см. § 11). Тогда существуют вероятностное пространство (П, ^, Р) и определенная на нем случайная функция X = {X(t), t G Т} такие, что конечномерными распределениями X
являются меры Ptb...,tn-

Доказательство этой теоремы вместе с ее эквивалентными формулировками дается в приложении 1.

Первоначальный вариант теоремы Колмогорова относился к построению семейств действительных случайных величин Xt, t G Т (индексированных точками
произвольного множества Т), по системе согласованных совместных функций распределения конечных наборов этих величин. Доказательство, данное Колмогоровым, охватывает (с должными изменениями) и более общую ситуацию, рассмотренную нами выше. В этой связи отметим, что в случае Т = N сформулированная теорема Колмогорова превращается в теорему Даниеля (см. [112]). Поэтому в случае произвольного множества Т и любого семейства борелевских пространств (St, S%t)teT говорят также о теореме Даниеля-Колмогорова.

Замечание 3. Пусть случайная функция X = {X(t), t G Т} определена на множестве Г С 1. Тогда в силу условия 1° можно рассматривать конечномерные
распределения только для t\ < • • • < tn. С другой стороны, пусть на пространствах (Stl,...,tn, ^tb...,tj заданы меры Р*ь...,*„, где h < • • • < tnj tk G Т С Е,
к = l,...,n,n G N. Если эти меры удовлетворяют условию 3°, то по теореме Колмогорова найдется случайная функция X = {X(t), t G Т} такая, что ее конечномерными распределениями, индексированными векторами (ti,..., tn) с t\ < • • • < tn,
будут меры Ptb...,tn.

Условия согласованности мер на пространствах в терминах характеристических функций.

13. Дадим еще одну форму условий симметрии и согласованности мер
Pti,... ,tn ? которую используем далее.
Для п ^ 2, ti,..., tn G Т и перестановки (ii,..., гп) набора A,..., п) определим
отображения фп: Тп ->• Гп и Фп: S^ х • • • х Stn ->• St • х • • • х S^ , положив
^nOi,...,?n) = (?^,...,?0, ФпОь...,жп) = (xil,...,xin). A9)
Введем отображения вп: Гп ->• Г71-11 и 0П: St: х • • • х Stn ->• St: x • • • х Stn_1:
^n(*i, • • •, tn) = (*i, • • •, tn±1), вп(ж1,..., жп) = (ял,..., xn_Li). B0)
Большие и малые буквы для одинаковых по своей сути отображений подчеркивают их действие на разных множествах. Индекс п у отображений A9) и B0) будем
опускать для упрощения записи, а также не будем отмечать их зависимость от точек
Лемма 10. Для каждого п ^ 2 и всех т = (ti,... ,tn), где ti,... ,tn — не совпадающие друг с другом точки множества Т, условия согласованности 1° и 2°
(или 1° и 3°) мер Рт = Ptb...,tn эквивалентны следующим двум условиям:
(А) р^т = ртф±х и (в)'р"вт = р.е^1.

Доказательство . Следует рассмотреть тг-систему, состоящую из "прямоугольников" Btx х • • • х Btn в пространстве Stx,... ,tn ? где ti,..., tn G T (n G N), и воспользоваться леммой 2. ?

§ 14. При построении случайных процессов, принимающих действительные значения, часто удобно использовать взаимно-однозначное соответствие между мерами на евклидовом пространстве W1 (с борелевской сг-алгеброй S^iW1)) и их характеристическими функциями.
Определение 9. Характеристической функцией меры Q на (ЕП,^(ЕП)) называется функция
=/ exp{i(X,x)}Q(dx), AGEn, B1)
n
где (А, ж) = ? \kxk,i2 = -LI-

Хорошо известно (см., например, [85; гл. II, § 3]), что мера Q на (Еп, ?е(Шп)) полностью определяется заданием функции распределения F(x) = Q((_Loo,x]), где
(_Loo, x] = (-Loo, xi] x • • • х (_Loo, xn], x = (x\,..., xn) G En. В каждой точке x,
в которой эта функция распределения F = F(x) непрерывна, ее значение определяется по характеристической функции формулой обращения:
F(x) = Bтг)±п lim / dy I dX exp{±i(X,y) _L a2|A|2/2}^Q(A), B2)
^°+ J(±oo,x] Jwi
где | A|2 = (A, A), dX и dy обозначают интегрирование по мере Лебега (ср. с теоремой 3
§ 12 гл. II в [85]). Зная функцию F = F(x) в точках ее непрерывности, однозначно
восстанавливаем F всюду. Значит, по характеристической функции однозначно
восстанавливается и мера Q на ?$(ЕП). Заметим, что если (^q Е L1 (Еп, ?$(ЕП), dX),
то в B2) можно положить а — 0 и не брать предел по а.
Напомним также формулу замены переменных в интеграле Лебега. Пусть (S, Зе),
(V, si) — измеримые пространства, g: S —> V является Зе \ ^/-измеримым отображением и h: V —у En, h € si \ ^(En). Тогда в предположении существования приводи-
мых ниже интегралов
/ h(g(x)) Q(dx) = / h(y)(Qg±1) (dy), B3)
is Jv
где интеграл от вектор-функции берется покомпонентно, а мера Q определена на (S, SS). Оба интеграла в B3) существуют или не существуют одновременно, а если
существуют, то, тем самым, и равны (см. [85; гл. II, § 6]).
Пусть на измеримом пространстве (S,3e) заданы сг-конечные меры /i и is. Мера \i называется абсолютно непрерывной относительно меры is (пишем \± <$С is), если
равенство is (А) = 0 влечет fi(A) = 0. По теореме Радона-Никодима (см., например, [35; с. 405]) \± ^С v тогда и только тогда, когда существует функция / G I/1(S, Й§, is),
называемая плотностью меры \i по мере v и обозначаемая dfi/dis такая, что = / f(x)u(dx), A€<%. B4)
J А
Известно, что в случае, когда \i ^C is, для функции h: S —> En, h G Зе \ ?$(ЕП), справедлива формула
/ h(x) fi(dx) = / h(x)f(x) u(dx); B5)
оба интеграла здесь существуют лишь одновременно (и в этом случае они, следовательно, совпадают).

Определение 10. Пусть (П, &, Р) — вероятностное пространство. Характеристической функцией случайного вектора Y: П —у En (Y G 3* \ SftiW1)) называет-
ся функция ipY(X) = Е exp{i(A,F)}, A G Еп, B6)
где Е — усреднение по мере Р.

Из формул B1) и B3) видим, что
= [ exp{i(\,z)}PY±1(dz)=(PpY(\), B7)
т. е. характеристическая функция вектора Y совпадает с характеристической функцией его распределения вероятностей.
§ 15. Пусть семейство мер Рт, т = (?]_,..., ?п), на пространствах (En, S^iW1)) индексируется не совпадающими друг с другом точками t\,..., tn (варьируются п Е N
и ti,..., tn из Т). Обозначим ipT = (рт(\) характеристическую функцию меры Рт.
Если меры Рт — конечномерные распределения процесса X = {Х(?), t G Г}, то
тогда ipT может быть представлена в виде:
>т(А) = Е ехр(г ^ X
А = (Аь ..., Ап) е ВГ. B8)
Отсюда видно, что характеристическая функция ция, индексированная "укороченным" вектором г, получается из характеристической функции ipT подстановкой в ее аргументы Ai,..., Ап нулей на места "выкидыва-
емых" в векторе т координат.
Оказывается, эти простые условия в точности эквивалентны условиям симметрии и согласованности мер 1° и 2° (см. § 11).

Теорема 5. Для симметрии и согласованности мер РТ; г = (ti,..., tn) G Tn, заданных на пространствах (En, ^(En))n^i, необходимо и достаточно, чтобы
для любых A G ln, r G Тп и п ^ 2, одновременно выполнялись следующие два условия:
(а) ^
где отображения ф, Ф, в и О определены в § 13 (с St = E, t G Г), а (ОА, 0) =
= (Ai,..., An_Li, 0) для А = (Ai,..., An) G E™.

Доказательство. В силу взаимно-однозначного соответствия между мерами на (En, S^iW1)) и характеристическими функциями условия (А) и (В) леммы 10 равносильны тому, что при п ^ 2 ^rW=VPr*-i(A), AGE", B9) ?>eTM=?>Pre-iM, ^K1 C0) (напомним, что <рТ = <^р ) • По лемме 8 найдется случайный вектор YT со значениями в Ж™, такойчто Рт = Рут. Тогда Рт-Ф-1-1 есть распределение вектора ФУ,-, поскольку
€ Б). Далее,
?»ФУт(А) = Е ехр{г(ФУт,Л)} = Е ехр{г(Ут,Ф*А)} = ^(Ъ^Х), C1)
где мы отождествили Ф с ортогональной матрицей, задающей это отображение (тогда Ф* = ф-11, Ф* — транспонированная матрица Ф). Согласно C1) условие B9)
принимает вид (p^T(\) = (^Т(ф-11Л), Л Е Еп, что эквивалентно условию (а).

Аналогично,
Е exp{i@FT,/i)} =
Е exp{i(FT, (
C2)
Таким образом, C0) равносильно условию (b). D
Замечание 4. Пусть X = {(Xi(t),... ,Xm(t)), t G T} — (векторный) случайный процесс со значениями в Ет. Для произвольного п Е N и любых t\,..., tn G T
рассмотрим вектор 6b...,tn = №(*i), • • • ,Xm(ti),... ,Xi(?n),... ,Xm(tn)), имеющий на Зе (Emn) распределение Ptx,... ,tn c характеристической функцией 0ti,... ,tn (А),
= (A^ ^m) гдеЛ = (Аь... ,An), Aj = (A^,... ,A^-m)) G Em, j = l,...,n.

Теорема 5 верна и для векторного случая (для мер Рт, заданных на пространствах (Em В этом (векторном) случае в условии (а) одновременно переставляются ti,..., tn и Ai,..., Ап, а в условии (Ь) вектор Ап приравнивается нулю в Ет.

Напиши свое отношение про Конечномерные распределения процесса. теоремы Колмогорова о согласованных распределениях . Условия согласованности мер. Это меня вдохновит писать для тебя всё больше и больше интересного. Спасибо Надеюсь, что теперь ты понял что такое Конечномерные распределения процесса. теоремы Колмогорова о согласованных распределениях . Условия согласованности мер и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории вероятностные процессы