Уравнение Ланжевена. Процесс Орнштейна-Уленбека кратко

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про уравнение ланжевена, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое уравнение ланжевена, процесс орнштейна-уленбека , настоятельно рекомендую прочитать все из категории вероятностные процессы.

уравнение ланжевена .

Уравнение Ланжевена — стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее броуновское движение.

Первое уравнение, изученное Ланжевеном, описывало броуновское движение с постоянным потенциалом, то есть ускорение броуновской частицы массы выражается через сумму силы вязкого трения, которая пропорциональна скорости частицы (Закон Стокса), шумового члена (название, которое используется в физике для обозначения стохастического процесса в дифференциальном уравнении) — за счет непрерывных соударений частицы с молекулами жидкости, и — систематической силы, возникающей при внутримолекулярных и межмолекулярных взаимодействиях:

Решение уравнения

Перепишем уравнение Ланжевена без внешних сил. Кроме того, без потери общности можно рассматривать только одну из координат.

Будем полагать, что случайная сила удовлетворяет следующим условиям:

где b — некоторая константа, которую мы определим позже, — дельта-функция Дирака. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Угловыми скобками обозначено усреднение по времени. Это т. н. дельта-коррелированая случайная величина: ее автокорреляционная функция равна дельта-функции. Такой случайный процесс также называется белым шумом.

Перепишем уравнение в терминах скорости:

, где

Пусть в начальный момент времени частица имела скорость . Будем искать решение в виде: , тогда для получим следующее дифференциальное уравение:

В итоге, получаем искомое выражение для скорости:

Из него следуют два важных соотношения:

1. . То есть среднее значение скорости стремится к нулю с течением времени.
2. . Средний квадрат скорости со временем стремится к значению . Если предположить, что кинетическая энергия частицы со временем стремится к тепловой, то можно определить значение коэффициента :

Преобразованием исходного выражения можно получить, что:

Откуда следует соотношение Эйнштейна:

где B — подвижность броуновской частицы.

Броуновское движение как интеграл гауссовских процессов

Винеровский процесс (так называемое броуновское движение) является интегралом гауссовского процесса белого шума. Он не стационарен, однако имеет стационарные приращения.

Процесс Орнштейна — Уленбека — это стационарный гауссовский процесс.

Броуновский мост (подобный процессу Орнштейна — Уленбека) является примером гауссовского процесса, приращения которого не являются независимыми.

Дробное броуновское движение является гауссовским процессом, ковариационная функция которого является обобщением функции винеровского процесса.

Я хотел бы услышать твое мнение про уравнение ланжевена Надеюсь, что теперь ты понял что такое уравнение ланжевена, процесс орнштейна-уленбека и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории вероятностные процессы