Лекция
Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про уравнение ланжевена, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое уравнение ланжевена, процесс орнштейна-уленбека , настоятельно рекомендую прочитать все из категории вероятностные процессы.
Уравнение Ланжевена — стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее броуновское движение.
Первое уравнение, изученное Ланжевеном, описывало броуновское движение с постоянным потенциалом, то есть ускорение 
броуновской частицы массы 
выражается через сумму силы вязкого трения, которая пропорциональна скорости частицы 
(Закон Стокса), шумового члена 
(название, которое используется в физике для обозначения стохастического процесса в дифференциальном уравнении) — за счет непрерывных соударений частицы с молекулами жидкости, и 
— систематической силы, возникающей при внутримолекулярных и межмолекулярных взаимодействиях:
Перепишем уравнение Ланжевена без внешних сил. Кроме того, без потери общности можно рассматривать только одну из координат.
Будем полагать, что случайная сила удовлетворяет следующим условиям:
где b — некоторая константа, которую мы определим позже, 
— дельта-функция Дирака. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Угловыми скобками обозначено усреднение по времени. Это т. н. дельта-коррелированая случайная величина: ее автокорреляционная функция равна дельта-функции. Такой случайный процесс также называется белым шумом.
Перепишем уравнение в терминах скорости:
, где 
Пусть в начальный момент времени 
частица имела скорость 
. Будем искать решение в виде: 
, тогда для 
получим следующее дифференциальное уравение:
В итоге, получаем искомое выражение для скорости:
Из него следуют два важных соотношения:
. То есть среднее значение скорости стремится к нулю с течением времени.
. Средний квадрат скорости со временем стремится к значению 
. Если предположить, что кинетическая энергия частицы со временем стремится к тепловой, то можно определить значение коэффициента 
:
Преобразованием исходного выражения можно получить, что:
Откуда следует соотношение Эйнштейна:
где B — подвижность броуновской частицы.
Винеровский процесс (так называемое броуновское движение) является интегралом гауссовского процесса белого шума. Он не стационарен, однако имеет стационарные приращения.
Процесс Орнштейна — Уленбека — это стационарный гауссовский процесс.
Броуновский мост (подобный процессу Орнштейна — Уленбека) является примером гауссовского процесса, приращения которого не являются независимыми.
Дробное броуновское движение является гауссовским процессом, ковариационная функция которого является обобщением функции винеровского процесса.
Я хотел бы услышать твое мнение про уравнение ланжевена Надеюсь, что теперь ты понял что такое уравнение ланжевена, процесс орнштейна-уленбека и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории вероятностные процессы
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про уравнение ланжевена
Комментарии