Формула Ито и пример ее использования. кратко

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про формула ито, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое формула ито , настоятельно рекомендую прочитать все из категории вероятностные процессы.

формула ито — формула замены переменной в стохастическом дифференциальном уравнении. Автор формулы Ито Киеси — японский математик-статистик.

Определение

Дан случайный процесс , заданный на фильтрованном вероятностном пространстве с потоком .

Пусть дано стохастическое дифференциальное уравнение , или, в интегральной форме

где — броуновское движение.

Пусть теперь — заданная на непрерывная функция из класса , то есть имеющая производные

При этих предположениях:

Говоря более строго, при каждом для справедлива следующая формула Ито:

Примеры

Геометрическое броуновское движение

Говорят, что процесс S следует геометрическому броуновскому движению с постоянной волатильностью σ и постоянным дрейфом μ, если он удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению , Для броуновского движения B . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Применяя лемму Ито с дает

Следует, что

возведение в степень дает выражение для S ,

Срок коррекции -σ ²/2соответствует разнице между медианой и средним логнормальным распределением , или, что эквивалентно для этого распределения, средним геометрическим и средним арифметическим, при этом медиана (среднее геометрическое) ниже. Это связано с неравенством AM – GM и соответствует выпуклому вниз логарифму, поэтому поправочный член можно соответственно интерпретировать как поправку на выпуклость . Это бесконечно малая версия того факта, что годовая доходность меньше средней доходности, причем разница пропорциональна дисперсии. См. Геометрические моменты логнормального распределения для дальнейшего обсуждения.

Тот же фактор σ ²/2входит во вспомогательные переменные d ₁ и d ₂ формулы Блэка – Шоулза и может интерпретироваться как следствие леммы Ито.

Показательная величина Долеана-Даде

Экспоненциальная Долеан-Дейд (или стохастические экспоненциальный) непрерывного семимартингал X может быть определен как решения СД д = Y йХ с начальным условием У ₀ = 1 . Иногда его обозначают Ɛ ( X ) . Применение леммы Ито с f ( Y ) = log ( Y ) дает

Возведение в степень дает решение

Формула Блэка – Шоулза

Лемму Ито можно использовать для вывода уравнения Блэка – Шоулза для опциона . Предположим, что цена акции следует геометрическому броуновскому движению, заданному стохастическим дифференциальным уравнением dS = S ( σdB + μ dt ) . Тогда, если стоимость опциона в момент t равна f ( t , S _t ), лемма Ито дает

Период, термин ∂ f/∂ S dS представляет собой изменение стоимости во времени dt торговой стратегии, состоящей в удержании суммы∂ f/∂ Sна складе. Если следовать этой торговой стратегии и предполагается, что любые имеющиеся денежные средства будут расти безрисковой скоростью r , то общая стоимость V этого портфеля удовлетворяет SDE.

Эта стратегия повторяет вариант, если V = f ( t , S ). Объединение этих уравнений дает знаменитое уравнение Блэка – Шоулза

Правило продукта для процессов Itô

Позволять быть двумерным процессом Ито с SDE:

Тогда мы можем использовать многомерную форму леммы Ито, чтобы найти выражение для .

У нас есть и .

Мы установили и обратите внимание, что и

Подстановка этих значений в многомерную версию леммы дает нам:

Это обобщение правила произведения Лейбница на недифференцируемые процессы Ито.

Далее, использование второй формы многомерной версии выше дает нам

Итак, мы видим, что продукт сам по себе является дрейфово-диффузионным процессом Ито .

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Стохастическое дифференциальное уравнение
• Формула Фейнмана — Каца
• Уравнение Колмогорова — Чепмена
• Уравнение Фоккера — Планка

Я хотел бы услышать твое мнение про формула ито Надеюсь, что теперь ты понял что такое формула ито и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории вероятностные процессы