2.8 Характеристики случайных величин, связанных с процессом восстановления кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое характеристики случайных величин связанных с процессом восстановления , Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое характеристики случайных величин связанных с процессом восстановления , настоятельно рекомендую прочитать все из категории вероятностные процессы.

2.8 Характеристики случайных величин, связанных с процессом восстановления

1. Момент последнего восстановления на конечном интервале.

Для простого процесса восстановления исследуем распределение момента последнего восстановления на интервале [0,t). При этом исследовании момент t₀=0 считаем моментом восстановления в ситуации, когда на интервале [0,t) восстановлений не было.

Обозначим этот момент через ζ_t . Тогда очевидно

P{ζ_t<0}=0, P{ζ_t=0}=1-F(t), P{ζ_tпри x>t . (2.35)

При 0<=t получаем равенство

, (2.36)

если учесть, что dH(y) есть вероятность появления восстановления в окрестности точки y, а 1-F(t-y) есть вероятность того, что на (y,t) не будет восстановлений, то есть в окрестности точки y произошло последнее восстановление до t. Равенства (2.35) и (2.36) решают поставленную задачу.

Распределение случайной величины ζ_t имеет разрыв в нуле (величина скачка равна 1-F(t)) и непрерывна при x=t , поскольку

если учесть равенство (2.16).

Из (2.36) получаем

(2.37)

2. Обратное время возвращения (время недоскока)

Обратное время возвращения η_t (время недоскока) определяется как время от момента последнего восстановления, произошедшего на интервале [0,t), до момента t. Из определений следует, что между случайными величинами имеет место функциональная зависимость η_t+ζ_t=t. Следовательно, при

и из (2.35) и (2.36) получаем

P{η_t <0}=P{ζ_t>t}=0, P{η_t =t}=P{ζ_t=0}=1-F(t),

P{η_t ζ_t>t-x}=1 при x>t, (2.38)

(2.39)

Распределение случайной величины η_t имеет разрыв при x=t, величина скачка равна 1-F(t), поскольку из (2.39) имеем lim_x→tP{η_tи непрерывна при x=0 , поскольку непрерывно при x=t распределение (2.36).

Полученный результат легко объяснить, если обратить внимание на равенства событий - при xсобытие {η_t>x} означает, что на интервале (t-x,t) нет восстановлений, при x=t событие {η_t=x} означает, что на интервале (0,t) нет восстановлений.

Из (2.39) получаем для математического ожидания

(2.40)

3. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Прямое время возвращения (перескок)

Прямое время возвращения ξ_t (время передоскока) определяется как время от момента t до ближайшего восстановления, произошедшего после t. Заметим, что при любом x>0 событие {ξ_t>x} означает, что на интервале (t,t+x) нет восстановлений. Искомое распределение выпишем, используя формулу полной вероятности. Для условных вероятностей имеем при x>=0, 0<=y<=t

,

при этом учитывается, что на периоде [y,t) нет восстановлений.

Тогда по формуле полной вероятностей получаем

или для функции распределения получаем

(2.41)

Из (2.41) получаем выражение для математического ожидания

(2.42)

Здесь уместно привести выражение для математического ожидания интервала, накрывающего точку t. Из равенств (2.40) и (2.42) получаем сумму

(2.43)

Отметим одно важное обстоятельство - математическое ожидание этого интервала не совпадает с математическим ожиданием случайной величины ξ_.

4. Совместное распределение прямого и обратного времен возвращения

Для 0<=x<=t, y>=0 выпишем вероятности P{ξ_t>=y,η_t>=x}, из которых легко получить совместное распределение P{ξ_tη_t. В самом деле,

P{ξ_t>=y,η_t>=x}+P{ξ_tη_tξ_t>=y,η_tξ_tη_t>=x}=1

P{ξ_tξ_tη_tξ_tη_t>=x},

P{η_tξ_tη_tξ_t>=y,η_t

P{ξ_t>=y,η_t>=x}+P{ξ_tη_tξ_tη_t

Для того, чтобы реализовалось событие {ξ_t>=y}⋂{(η_t>=x}, необходимо и достаточно отсутствия восстановлений на интервале (t-x,t+y). Поэтому,

(2.44)

Так как случайная величина η_t имеет положительный атом при x=t, то особо надо выделить случай

P{ξ_t>=y,η_t=t}=1-F(t+y),

что соответствует первому слагаемому в (2.44).

Наконец, при x>t, y>=0 совместная вероятность равна нулю в силу равенства (2.42).

Равенство (2.44) показывает зависимость случайных величин ξ_t и η_t, так как вероятность не представима в виде произведения вероятностей и .

В заключение настоящего раздела приведем распределение интервала, накрывающего произвольный момент t, то есть распределение суммы

При x получаем

(2.45)

При получаем

(2.46)

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Случайная мера Пуассона
• случайный процесс
• случайные блуждания
• процесс восстановления
• модель Крамера-Лундберга
• эмпирические меры
• пуассоновская случайная мера

Представленные результаты и исследования подтверждают, что применение искусственного интеллекта в области характеристики случайных величин связанных с процессом восстановления имеет потенциал для революции в различных связанных с данной темой сферах. Надеюсь, что теперь ты понял что такое характеристики случайных величин связанных с процессом восстановления и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории вероятностные процессы

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про характеристики случайных величин связанных с процессом восстановления