Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое обрывающиеся процессы восстановления, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое обрывающиеся процессы восстановления , настоятельно рекомендую прочитать все из категории вероятностные процессы.
До сих пор ограничениями были:
При этих условиях процесс восстановления будет развиваться во времени, за конечное время произойдет конечное число восстановлений (не будет бесконечных накоплений), а за бесконечное время произойдет бесконечное число восстановлений, то есть при t→∞ с вероятностью единица ξ(t)→∞.
Такая ситуация имеет место, когда распределение, определяющее процесс восстановления, является собственным, то есть P{ξ<∞}=limt→∞F(t)=F(∞)=1 (условие, необходимое для существования моментов).
Другая картина возникает в случае, когда распределение F(t) является несобственным, F(∞)<1, P{ξ=∞}=1-F(∞)>0. Тогда с положительной вероятностью 1-F(∞)>0 процесс восстановления может оборваться на каком-то шаге, то есть время до следующего восстановления будет равно бесконечности.
Процесс восстановления, у которого распределение интервалов между соседними моментами восстановления является несобственным, называется обрывающимся процессом восстановления.
Прежде чем формулировать теорему о предельном поведении обрывающегося процесса восстановления, докажем лемму о предельном поведении интегралов свертки.
ЛЕММА 2.2. Если функции А(x) и В(x) при x>0 положительные неубывающие и равномерно ограниченные, то
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . В силу условий теоремы для любого ε1>0 найдется такое t1(ε1)>0, что при t>t1(ε1)
.
Для любого ε2>0 найдется такое t2(ε2)>0, что при t>t2(ε2) и
.
Тогда при t>max[t1(ε1), t2(ε2)] имеем оценку
что и доказывает утверждение леммы. *
ТЕОРЕМА 2.2. Для обрывающегося процесса восстановления, начинающегося в момент t=0, справедливы следующие утверждения:
; (2.24)
(2.25)
. (2.26)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для несобственного распределения непосредственный переход к пределу при t→∞ в интеграле свертки дает F(k)(∞)=[F(∞)]k<1, k>0, и F(0)(∞)<1. Доказательство этого факта легко провести по индукции, используя лемму 2.2. Функции распределения удовлетворяют условиям леммы. Поэтому . Если , то из утверждения леммы следует
Тогда из (2.3) получаем
P{ξ(∞)=k}=limt→∞ P{ξ(t)=k}=limt→∞ [F(k)(t)-F(k+1)(t)]=(F(∞))k[1-F(∞)] (2.27)
и, следовательно, справедливо (2.24).
Для доказательства (2.25) воспользуемся равенством (2.4)
причем перемена порядка суммирования и перехода к пределу законна, поскольку ряд (2.4) сходится равномерно при 0<=t<∞.
Равенство (2.27) показывает, что число слагаемых ξm до обрыва процесса восстановления имеет геометрическое распределение. Тогда по формуле полной вероятности получаем
При вычислении условной вероятности , заметим, что справедливо равенство событий
Поэтому в силу независимости случайных величин ξm+1 и tm имеем
Таким образом, все утверждения теоремы доказаны. *
СЛЕДСТВИЕ 2.1. Если неубывающая функция В(x) имеет предел при x→∞, B(∞)=limx→∞B(x) и H(x) функция восстановления обрывающегося процесса восстановления, то
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство непосредственно вытекает из равенства (2.25) и утверждения леммы 2.2.*
Представленные результаты и исследования подтверждают, что применение искусственного интеллекта в области обрывающиеся процессы восстановления имеет потенциал для революции в различных связанных с данной темой сферах. Надеюсь, что теперь ты понял что такое обрывающиеся процессы восстановления и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории вероятностные процессы
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про обрывающиеся процессы восстановления
Комментарии
Оставить комментарий
вероятностные процессы
Термины: вероятностные процессы