. Сохранение слабой сходимости под действием непрерывных отображений. теорема о плотности семейства мер. Принцип инвариантности ( теоремы Донскера, Прохорова, Боровкова, Скорохода, Штрассена.

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про сохранение слабой сходимости под действием непрерывных отображений, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое сохранение слабой сходимости под действием непрерывных отображений, формулировка теоремы прохорова о плотности семейства мер, принцип инвариантности, теорема донскера, теорема прохорова, теорема боровкова, теорема скорохода, теорема штрассена , настоятельно рекомендую прочитать все из категории вероятностные процессы.

. сохранение слабой сходимости под действием непрерывных отображений . формулировка теоремы прохорова о плотности семейства мер . принцип инвариантности (формулировки теорем Донскера, Прохорова, Боровкова, Скорохода). Формулировка теоремы Штрассена.

1. Слабая сходимость мер. Меры на полных сепарабельных метрических пространствах. Теорема Прохорова.

Приложения слабой сходимости мер не исчерпываются вероятностными задачами. По своей природе это понятие функционально-аналитическое, поскольку может рассматриваться как *-слабая сходимость на пространстве мер, но оно также широко используется в вариационных задачах и

уравнениях в частных производных. Первые фундаментальные результаты о слабой сходимости мер были получены в работах выдающегося геометра А.Д. Александрова, при этом они были мотивированы его работами по теории выпуклых поверхностей.

Пример 1.1. Рассмотрим δ-образную последовательность функций

на прямой. Каждая функция удовлетворяет условию

R fδ (x) dx = 1. Очевидно, limδ→0 fδ (x) = 0 еслиx = 0 и li mδ→0 fδ(0) = +∞. Несмотря на то, что limδ→0 fδ(x) = 0 почти всюду, функция, тожде-

ственно равная нулю, не является разумным пределом {fδ }. Действительно, как хорошо известно ∫

из анализа (и нетрудно проверить самостоятельно), limδ→0 ϕ(x)fδ (x) dx = ϕ(0) для непрерывной ограниченной функции ϕ. Очевидно, в этом примере не выполняется свойство о предельном ∫ переходе под знаком интеграла limδ→0 ϕfδ (x) dx = 0. Естественным решением данной пробле-

мы является следующее: рассматривать {fδ } как последовательность мер {fδ (x) dx}. Пределом этой последовательности является мера Дирака δ0, сосредоточенная в точке 0, т.е. мера, опре-деленная условием δ(A) = 0, если 0 ∈ A и δ(A) = 1, если 0 ∈ A. Очевидно,

f (x) dδ = f (0). Естественным классом пространств, на которых удобно расcматривать слабую сходимость, яв-

ляется класс так называемых польских пространств.

Определение 1.2. Польскими пространствами называются полные сепарабельные метрические пространства.

Мы будем рассматривать борелевские вероятностные меры на польском пространстве X, то есть, меры, определенные на борелевской σ-алгебре B(X). Метрику X будем обозначать через ρ.

Определение 1.3. Пусть {µn} последовательность вероятностных мер. Будем говорить, что {µn} сходится слабо к вероятностной мере {µ}, если для любой непрерывной ограниченной функции f : X → R выполнено соотношение

Теорема 1.4. (А.Д. Александров) Последовательность вероятностных мер {µn} слабо сходится

к вероятностной мере µ тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий

1)

µ(G) ≥ limnµn(G)

для любого замкнутого G

2)

µ(O) ≤ limnµn(O)

для любого открытого O

3) Для любого множества B, удовлетворяющего условию µ(∂B) = 0

µ(B) = limµn(B).

n

Доказательство. Предположим, что µn → µ слабо. Пусть G замкнутое множество. Рассмотрим

функцию x → ρ(x, G) = infy∈G ρ(x, y). Заметим, что эта функция непрерывна (почему?). Положим

fm(x) = (1 + mρ(x,G))−1. Заметим, что fm(x) ≥ IG(x). По определению слабой сходимости имеем

∫

∫

fm(x) dµ = lim

fm(x) dµn ≥ limnµn(G).

n

Переходя к пределу по m и пользуясь теоремой Лебега об ограниченной сходимости, получаем

∫

limm

fm(x) dµ = µ(G), следовательно

µ(G) ≥ limnµn(G).

Очевидно, свойства 1) и 2) эквивалентны.

Далее, 3) легко следует из 1) + 2), если учесть, что IntB = B \ ∂B ⊂ B ⊂ B и

µ(IntB) = µ(B) = µ(B),

если µ(∂B) = 0.

Для вывода слабой сходимости из свойства 3) заметим, что достаточно доказать свойство

∫

∫

lim

f (x) dµn = f (x) dµ

n

для произвольной неотрицательной функции f (x) Пусть M = supX f (x). Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Применим известную

формулу

∫

∫ M

f (x) dµn =

µn({f(x) > t}) dt.

0

В силу непрерывности f (x) имеем ∂{x : f (x) > t} = {x : f (x) = t}. Так как множества {x : f (x) = t}

не пересекаются при различных t, то µ({x : f (x) = t}) > 0 только для не более чем счетного набора

значений t. Для всех остальных limn µn({f (x) > t}) = µ({f (x) > t}). Преходя к пределу под знаком

интеграла (пользуясь теоремой об ограниченной сходимости), получаем

∫

∫

∫ M

∫ M

lim

f (x) dµn = lim

µn({f(x) > t}) dt =

µ({f (x) > t}) dt = f (x) dµ.

n

n

0

0

□

Следующий факт известен как теорема Улама.

Теорема 1.5. Пусть µ вероятностная борелевская мера на польском пространстве X. Для

любого ε > 0 существует такое компактное множество K ⊂ X, что µ(X \ K) ≤ ε.

Доказательство. Для любого ε и любого n ∈ N найдем конечное объединение An = ∪N(n)B1/n(xi)

i=1

шаров радиса 1/n, удовлетворяющих условию µ(X \ An) <ε

Это можно сделать в силу того,

2n .

что все пространство является X является счетным объединением таких шаров. Заметим, что An

обладает конечной 1/n-сетью (центры шаров из An). Пусть K = ∩∞

n=1An.

Так как Kn ⊂ An, то

K обладает конечной ε - сетью для любого ε > 0. Поэтому K вполне ограниченное, замкнутое

множество в полном метрическом пространстве. Следовательно, оно является компактом. Кроме

того, µ(X \ K) = µ(∪∞

ε.

□

n=1An)≤∑

=1 2n =

Определение 1.6. Слабой топологией на пространстве вероятностных мер называется топо-

{

∫

∫

}

логия, порожденная множествами вида Oµ,f,ε =

ν : |X fdν −X fdµ| < ε

, f

непрерывная

ограниченная функция

Будем говорить, что множество M вероятностных мер слабо компактно, если из любой последо-

вательности {µn} ⊂ M можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательности. Строго говоря,

это свойство следует называть слабой секвенциальной компактностью. Впрочем (см. задачи), сла-

бая сходимость на метрических пространствах метризуема. Следовательно, в нашей ситуации эти

понятия эквивалентны. Семейство мер M вероятностных мер на польском пространстве X назы-

вается плотным, если для любого ε > 0 существует такой компакт K ⊂ X, что µ(X \ K) ≤ ε для

любой меры µ ∈ M.

Следующий результат (теорема Прохорова) играет исключительно важную роль в приложениях

теории слабой сходимости мер. Для его доказательства понадобится еще один классический резуль-

тат функционального анализа.

Теорема 1.7. (Ф. Рисс) Пусть K метрический компакт, C(K) пространство непрерывных

функций на K, наделенное равномерной нормой. Для любого непрерывного линейного функционала

L : C(K) → R существует такая борелевская (в общем случае, знакопеременная) мера µ, что

имеет место представление

∫

L(f ) = f dµ.

K

В случае, если L неотрицательный функционал (т.е. L(f ) ≥ 0 для f ≥ 0), то µ неотрица-

тельная мера.

Теорема 1.8. (Ю.В. Прохоров) Семейство M вероятностных мер на польском пространстве X

тогда и только тогда слабо компактно, когда оно плотно.

Доказательство. Доказательство необходимости близко доказательству теоремы Улама. Пусть {xi}

счетное всюду плотное множество в X. Положим Am,r = ∪i≤mBr (xi), Br (xi) = {x : |x − xi| ≤ r}.

Докажем, что

lim

inf

µ(Am,r ) = 1

m

µ∈M

для любого r > 0. Предположим, что это не так. Зафиксируем r > 0. Тогда для некоторого ε > 0

и для любого m можно найти такую меру µm, что µm(Am,r ) < 1 − ε. Пользуясь слабой компакт-

ностью M и переходя к подпоследовательностям, без ограничения общности можно считать, что

{µm} сходится слабо к некоторой мере µ. Для меры µ существует такое натуральное число M , что

µ(AM,r ) > 1 −ε

2.Новсилуслабойсходимости1−2 <µ(AM,r)≤limmµm(AM,r)≤limmµm(Am,r)<

1−ε. Мы получили противоречие. Следовательно, для всех r > 0 limm infµ∈M µ(Am,r) = 1. Отсюда

немедленно следует, что для любого ε > 0 и N ∈ N существует такое число M (N ), что

ε

µ(AM(N),1/N ) = µ(∪i≤M(N)B1/N (xi)) > 1 −

2N

для любого µ ∈ M. Множество

∩N∈N ∪i≤M(N) B1/N (xi)

является искомым компактом.

Докажем достаточность. Предположим сначала, что X = K компакт. В пространстве C(K)

непрерывных функций на K найдем счетное всюду плотное множество функций {fj } (почему такое

существует?). Так как для каждого fj число

∫

fj dµ

K

ограничено числом supK |fj |, то, пользуясь диагональным методом, можно найти последователь-

ность {µn}, т.ч. предел

∫

lim

fj dµn = F(fj)

n

существует. Заметим, что |F (fj )| ≤ supK |fj | и F (fj ) ≥ 0 для любой неотрицательной функции fj .

Следовательно, F продолжается по непрерывности до неотрицательного линейного функционала на

∫

C(K). По теореме Рисса, существует вероятностная мера µ, обладающая свойством F (f ) =K f dµ.

∫

∫

При этом limn

fj dµn =

fj dµ. Найдем произвольную непрерывную функцию f и приблизим



∫



∫



ее по равномерной норме некоторой функцией fj : |f − fj | < ε. Тогда

f dµ − limn

f dµn

≤



∫











∫

+

∫

+

limn ∫



fj dµ − limn

fj dµn

(f − fj ) dµ

(f − fj ) dµn

≤ 2ε. В силу произвольности ε,

∫

∫

получаем

f dµ = limn

f dµn.

В случае некомпактного пространства X надо воспользоваться известным из общей топологии

фактом, что X гомеоморфно вкладывается в некоторое компактное метрическое пространство Y . В

качестве Y можно взять, например, [0, 1]N. Таким образом, можно считать, что X ⊂ Y и любая мера

µ продолжается на все Y по формуле µ(A) = µ(A∩X), A ⊂ Y . Можно выделить последовательность

мер {µn}, слабо сходящуюся на Y к мере ν. Возьмем последовательность компактов Km ⊂ X, т.ч.

1

sup

µ(X \ Km) ≤

µ∈M

m.

Тогда по свойству 1) теоремы 1.4 ν(Km) ≥ limnµn(Km) ≥ 1 −1

m (таккакKm ⊂X⊂Yкомпакт,

и, следовательно, замкнут в Y ). Поэтому ν(∪mKm) = 1 и ν(X) = 1. Докажем, что {µn} (рассмат-

риваемые как меры на X) слабо сходятся к ν|X . Действительно, возьмем открытое множество U

в X. Оно является пересечением некоторого открытого множества V ⊂ Y с X. В силу сходимости

µn → ν имеем limnµn(U) = limnµn(V ) ≥ ν(V ) = ν(V ∩ X) = ν(U). По свойству 2) теоремы 1.4

µn → ν слабо, как меры на X.

□

Замечание 1.9. Достаточность также можно доказывать, используя теорему Банаха-Алаоглу

о слабой компактности единичного шара.

Занятие 1

1)

Докажите, что последовательность вероятностных мер {µn} на прямой сходится слабо к

мере µ тогда и только тогда, когда Fµ

(t) → Fµ(t) для всех точек непрерывности функции

n

Fµ(t).

2)

Докажите, что последовательность мер Дирака {δxn } на метрическом пространстве X тогда

и только тогда слабо сходится, когда xn → x ∈ X. В частности, пространство X топологиче-

ски вкладывается в пространство вероятностных мер на X, наделенное слабой топологией.

3)

Докажите, что любая вероятностная мера на Rn является слабым пределом мер вида

∑

ci · δxi

i=1

(дискретных мер).

4)

Пусть F : X → Y непрерывное отображение метрических пространств, {µn} слабо

сходящаяся последовательность мер на X. Доказать, что последовательность мер-образов

µn ◦ F−1 является слабо сходящейся.

5)

Пусть {ξn} последовательность случайных векторов, причем ξ = limn ξn почти наверное.

Используя теорему об ограниченной сходимости, доказать, что µξn → µξ слабо.

6*)

(теорема Скорохода) Пусть µn → µ слабо сходящаяся последовательность вероятност-

ных мер на Rn. Доказать, что существует вероятностное пространство (Ω, F , P ) и такая

последовательность случайных векторов {ξn}, что ξn → ξ п.н. и µξn = µn, µξ = µ.

7)

Пусть {µn} последовательность вероятностных мер на RN, причем проекции {µn} ◦ x−1

на

i

i-ю координату образуют плотную последовательность мер на прямой. Доказать, что {µn}

плотная последовательность мер на RN.

8*)

(метризуемость слабой сходимости) Пусть µ, ν

вероятностные меры на Rn. Положим

d(µ, ν) = inf{ε > 0, µ(A) ≤ ν(Aε) + ε, A − борелевское}. Докажите, что 1) d метрика, 2)

d(µn, µ) → 0 тогда и только тогда, когда µn → µ слабо.

9)

Построить пример слабо сходящейся последовательности мер µn → µ на X и такого за-

мкнутого (открытого) множества A ⊂ X, что сужения µn|A на A не сходятся слабо к µ|A на

X.

10)

Доказать, что семейство мер M на метрическом пространстве X является плотным, тогда

∫

и только тогда, когда существует такая функция f : X → [0, +∞], что supµ∈M

f dµ < ∞

и множества {x : f (x) < n} компактны для любого n ∈ N

Напиши свое отношение про сохранение слабой сходимости под действием непрерывных отображений. Это меня вдохновит писать для тебя всё больше и больше интересного. Спасибо Надеюсь, что теперь ты понял что такое сохранение слабой сходимости под действием непрерывных отображений, формулировка теоремы прохорова о плотности семейства мер, принцип инвариантности, теорема донскера, теорема прохорова, теорема боровкова, теорема скорохода, теорема штрассена и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории вероятностные процессы