Теорема Герглотца. Формулировка теоремы Бохнера-Хинчина

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про теорема герглотца формулировка теоремы бохнера-хинчина, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое теорема герглотца формулировка теоремы бохнера-хинчина , настоятельно рекомендую прочитать все из категории вероятностные процессы.

Теорема Герглотца. Формулировка теоремы Бохнера-Хинчина

§ 9. Как следует из названия главы, наш основной интерес связан с рассмотрением
стационарных процессов. Оказывается, что приведенная выше теорема Карунена,
примененная к таким процессам, позволяет получить для них стохастические пред-
ставления, допускающие весьма прозрачную "спектральную" интерпретацию.
Напомним, что суть понятия стационарности случайного процесса состоит в том,
что статистические характеристики такого процесса инвариантны относительно
сдвигов t н->¦ t + и. Сказанное нуждается в пояснении. Прежде всего, чтобы иметь
возможность производить сдвиги аргумента t исследуемого процесса X = {X(t),
t G Т}, предполагается, что Т — некоторая группа (всюду — по сложению).
В качестве временного множества Т, как правило, будут рассматриваться мно-
жества Ъ — {0,=Ы,...} или Е = (_Loo, оо), что соответствует изучению процессов
с дискретным или непрерывным временем. Кроме того, значения X(t) при каждом
t G Т считаются принадлежащими одному и тому же пространству S (обычно S = С
илиБ = Е).
Определение 8 главы VI стационарного в узком смысле процесса сохраняется
для случая, когда Т является группой.
Во многих исследованиях представляют интерес свойства случайных процессов,
зависящие лишь от смешанных моментов определенных порядков, т. е. от функций
вида EX(ti)kl • • • X(tn)kn, где п G N, ti,... ,tn G Г, fci,..., kn G Z+. Для класса
L2-процессов это делает естественным
Определение 6. Комплекснозначный (в частности, действительный) L2-npo-
цесс X = {X(t), t G Т}, где Т — некоторая группа, называется стационарным
в широком смысле (или стационарным второго порядка), если
EX(t)=a при любых t G Г, B4)
r(s,t)=cov(X(s),X(t))=r(s±t,0)(:=R(s±t)) при всех s,teT. B5)
Легко видеть, что всякий стационарный в узком смысле L2-nponecc будет ста-
ционарным в широком смысле. Для гауссовских процессов эти понятия совпадают. Об этом говорит сайт https://intellect.icu .
Последовательность независимых одинаково распределенных величин, не имеющих
математического ожидания, дает пример стационарного в узком смысле процесса,
для которого бессмысленно говорить о стационарности в широком смысле.
Далее мы сосредоточимся на процессах, стационарных в широком смысле. Теория
таких процессов тесно связана с теорией кривых в гильбертовом пространстве и
со свойством неотрицательной определенности детерминированных функций.

Определение 7. Комплекснозначная функция R = R(t), t G Т, заданная на не-
которой группе Т, называется неотрицательно определенной, если неотрицатель-
но определена функция r(s, t) = R(s _L t), s, t G T, т. е. выполнено условие A1.13).
Из теоремы 4 главы II вытекает, что класс неотрицательно определенных функций
R = R(t), t G Т, где Т — группа, совпадает с классом ковариационных функций
стационарных гауссовских процессов X = {Х(?), ? G Т}.
Описание неотрицательно определенных функций на группе Т = Ъ — {0,=Ы,...}
дает следующая
Теорема 4 (Герглотц). Функция R = R(n), n G Z, является неотрицательно
определенной тогда и только тогда, когда справедливо "спектральное пред-
ставление"
R(n)= f einXQ(d\), пеЪ, B6)
J±7T
где Q — конечная мера ("спектральная мера") на Й§([_1_тг,тг]).
В формуле B6) и далее интеграл от _1_тг до тг понимается как интеграл по отрезку
[J-tt.tt].
Доказательство . Достаточность. Очевидно, функция B6) является неотрица-
тельно определенной, поскольку для всех t\,..., tn G Z, z\,..., zn G Си любых
ne N
2
J] *kZq.
k,q=l
Q(d\) ^ 0. B7)
Необходимость. Для TV ^ 1 и A G [_Ltt, тг] введем непрерывные и неотрицательные
(в силу неотрицательной определенности R = R(n)) функции
B8)
\m\<N
где переход от двойной суммы к однократной справедлив, поскольку имеется iV _L |ггг|
пар (k, q), для которых к _L q = m (здесь k,q G {1,..., N}, \m\ < N). Определим на
_7r, тг]) меру Qn с плотностью gjsf по мере Лебега, т. е. положим
QN(B) = / gN(X)d\, В е 58([J_7r,7r]).
Jb
b
Тогда, согласно формуле A.25), для N ^ 1 имеем
i_L7r i_L7r
Заметим, что Qiv([_L7r,7r]) = R@) < оо для всех N (в силу B9) при п = 0).
Поэтому по теореме Прохорова для конечных мер (см. приложение 2), взяв компакт

К = [_Ltt,tt], находим подпоследовательность {N^} С N такую, что Qnu => Q-, где
Q — некоторая конечная неотрицательная мера на [_1_тг,тг]. Тогда, учитывая B9),
получим для каждого п Е Z соотношения
Г einXQ(d\) = lim Г einXQNk(d\)=R(n). D
Доказанная теорема позволяет легко получить "спектральное представление"
стационарных (в широком смысле) процессов.
Теорема 5. Пусть X = {Xf, t G Z} — центрированный стационарный в ши-
роком смысле процесс, определенный на некотором вероятностном простран-
стве (П,^, Р). Тогда на том же вероятностном пространстве существует
ортогональная случайная мера Z, заданная на Й§([_1_тг,тг]), такая, что (п. н.)
имеет место стохастическое "спектральное представление"
Xt= [ eitxZ(dX), te%. C0)
Доказательство. По теореме Герглотца для s,tGZ
s,t) =cov(XSjXt) = Г e^s±t^xQ(dX) = Г eisX^Q(dX), C1)
J±7T J±7T
где Q — конечная (неотрицательная) мера на ^([_Ltt, тг]). Значит, выполнено усло-
вие A8) теоремы Карунена (теорема 3), с /(t,A) = eltx, X G [_Ltt,тг], t G Z. При
этом также выполнено и условие B0), поскольку любую функцию из пространства
L2 = L2([_Ltt, тг], ^([_Ltt, тг]), Q) можно аппроксимировать в L2 непрерывной функци-
ей, принимающей одинаковые значения в точках _Ltt и тг, а такая функция равномерно
приближается суммами Фейера (см., например, [35; гл. VIII, § 2, п. 1]). Тем самым,
требуемое представление C0) вытекает непосредственно из теоремы Карунена. ?
Напомним, что в силу теоремы Карунена спектральная мера Q, фигурирующая
в формуле C1), является ни чем иным как структурной мерой (см. B)) для орто-
гональной случайной меры Z, по которой ведется интегрирование в C0).
Меру Q, использующуюся в B6), можно переопределить (не меняя обозначений),
перенеся "массу" Q({_Ltt}) из точки _Ltt в точку тг, где возникнет "масса" Q({_Ltt}) +
+ Q({tt}) . При этом значение интеграла в правой части формулы B6) не изменится,
поскольку е±гП7Т = егП7Т при всех п G Z. Указанное переопределение делается
лишь для того, чтобы представить интеграл по промежутку (_1_тг, тг] как интеграл по
единичной окружности. Если такое перенесение массы произведено, то Z({_Ltt}) = 0
п.н. в силу теоремы 2, поэтому и в C0) интегрирование фактически ведется по
(J_tt, тг]. Разумеется, аналогичным образом интегрированние в C0) можно свести
к интегрированию по полуинтервалу [_1_тг, тг).
Завершая рассмотрение вопроса о спектральном представлении C0), отметим,
что данная ("спектральная") терминология навеяна тем, что (согласно C0)) значе-
ния Xt как бы "складываются" из спектральных гармоник elXt с соответствующими
"весами" Z(dX).

§ 12. Описание ковариационных функций стационарных (в широком смысле) про-
цессов, непрерывных в среднем квадратическом на Т = Е, дает следующая
Теорема 8 (Бохнер-Хинчин). Пусть R = R(t), t G E, — непрерывная в нуле
неотрицательно определенная функция. Тогда для любого t G Е
гоо
R(t)= / eitxG{d\), C6)
где G = G(d\) — некоторая неотрицательная конечная ("спектральная") ме-
ра на 3&(Ж).
Очевидно, что функция, задаваемая правой частью C6), является непрерывной на
всей прямой. Совершенно аналогично B7) убеждаемся, что она также и неотрица-
тельно определена. Таким образом, условия теоремы 8 необходимы. Доказательство
достаточности этих условий отнесено в приложение 4.

Я хотел бы услышать твое мнение про теорема герглотца формулировка теоремы бохнера-хинчина Надеюсь, что теперь ты понял что такое теорема герглотца формулировка теоремы бохнера-хинчина и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории вероятностные процессы