Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Лекция



Привет, сегодня поговорим про теорема сложения вероятностей несовместных событий, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое теорема сложения вероятностей несовместных событий , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий Теорема сложения вероятностей несовместных событий равна сумме вероятностей этих событийТеорема сложения вероятностей несовместных событий(2.1)

Доказательство. Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий Теорема сложения вероятностей несовместных событий и Теорема сложения вероятностей несовместных событий.Пусть событию Теорема сложения вероятностей несовместных событий благоприятствуют Теорема сложения вероятностей несовместных событий элементарных исходов, а событию A2 :  m2  исходов. Так как события Теорема сложения вероятностей несовместных событий и Теорема сложения вероятностей несовместных событий по условию теоремы несовместны, то событию A1+A2 благоприятствуют m1+m2 элементарных исходов из общего числа n исходов. Следовательно,Теорема сложения вероятностей несовместных событий,

где Теорема сложения вероятностей несовместных событий — вероятность события Теорема сложения вероятностей несовместных событийТеорема сложения вероятностей несовместных событий — вероятность события Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

 

Пример. Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух машин различного вида. Известны вероятности выделения каждой машины: Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Тогда вероятность поступления к складу хотя бы одной из этих машин будет

P(А12) = 0,2 + 0,4 = 0,6.

Условная вероятность

Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло или нет другое событие. Например, вероятность своевременного выпуска машины зависит от поставки комплектующих изделий. Если эти изделия уже поставлены, то искомая вероятность будет одна. Если же она определяется до поставки комплектующих, то ее значение, очевидно, будет другим.Вероятность события Теорема сложения вероятностей несовместных событий, вычисленная при условии, что имело место другое событие Теорема сложения вероятностей несовместных событий, называется условной вероятностью события Теорема сложения вероятностей несовместных событийи обозначается Теорема сложения вероятностей несовместных событий.В тех случаях, когда вероятность события Теорема сложения вероятностей несовместных событий рассматривается при условии, что произошло два других события Теорема сложения вероятностей несовместных событий, используется условная вероятность относительно произведения событий Теорема сложения вероятностей несовместных событийТеорема сложения вероятностей несовместных событий.

 

 

Теорема умножения вероятностей

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место

P(AB) = P(A)×P(B/A) = P(B)×P(A/B). Об этом говорит сайт https://intellect.icu . (2.2)

Доказательство. Предположим, что из Теорема сложения вероятностей несовместных событий всевозможных элементарных исходов событию Теорема сложения вероятностей несовместных событий благоприятствуют Теорема сложения вероятностей несовместных событий исходов, из которых Теорема сложения вероятностей несовместных событий исходов благоприятствуют событию Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Тогда вероятность события Теорема сложения вероятностей несовместных событий будет Теорема сложения вероятностей несовместных событий, условная вероятность события Теорема сложения вероятностей несовместных событий относительно события Теорема сложения вероятностей несовместных событийбудет Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Произведению событий Теорема сложения вероятностей несовместных событий и Теорема сложения вероятностей несовместных событий благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и событию Теорема сложения вероятностей несовместных событий и событию Теорема сложения вероятностей несовместных событийодновременно, т.е. Теорема сложения вероятностей несовместных событий исходов. Поэтому вероятность произведения событий Теорема сложения вероятностей несовместных событий и Теорема сложения вероятностей несовместных событийравнаТеорема сложения вероятностей несовместных событий.

Умножим числитель и знаменатель этой дроби на Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

ПолучимТеорема сложения вероятностей несовместных событий.Аналогично доказывается и формулаТеорема сложения вероятностей несовместных событий.

 

Пример. На склад поступило 35 холодильников. Известно, что 5 холодильников с дефектами, но неизвестно, какие это холодильники. Найти вероятность того, что два взятых наугад холодильника будут с дефектами.

 

Решение. Вероятность того, что первый выбранный холодильник будет с дефектом, находится как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходовP(A) = 5/35 = 1/7.Но после того, как был взят первый холодильник с дефектом, условная вероятность того, что и второй будет с дефектом, определяется на основе соотношенияТеорема сложения вероятностей несовместных событий

Искомая вероятность будетТеорема сложения вероятностей несовместных событий.

Если при наступлении события Теорема сложения вероятностей несовместных событий вероятность события Теорема сложения вероятностей несовместных событий не меняется, то события Теорема сложения вероятностей несовместных событий и Теорема сложения вероятностей несовместных событий называются независимыми.В случае независимых событий вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий

P(AB) = P(A)×P(B). (2.3)

Теорема умножения вероятностей легко обобщается на любое конечное число событий.

 

Теорема. Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий, т.е.P(ABC....LM) = P(A)×P(B/A)×P(C/AB) P(M/AB...L). (2.4)

Для доказательства этой теоремы можно использовать метод математической индукции.

 

 

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же опыте.Пример. Поступление в магазин одного вида товара — событие Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Поступление второго вида товара — событие Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Поступить эти товары могут и одновременно. Поэтому Теорема сложения вероятностей несовместных событий и Теорема сложения вероятностей несовместных событий- совместные события.

 

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появленияP(A+B) = P(A) + P(B) — P(AB). (2.5)

 

Доказательство. Событие A+B наступит, если наступит одно из трех несовместных событийТеорема сложения вероятностей несовместных событий,Теорема сложения вероятностей несовместных событийТеорема сложения вероятностей несовместных событий. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеемТеорема сложения вероятностей несовместных событий(2.6)

Событие Теорема сложения вероятностей несовместных событий произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: Теорема сложения вероятностей несовместных событийТеорема сложения вероятностей несовместных событий.

Вновь применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Откуда

Теорема сложения вероятностей несовместных событий(2.7)

Аналогично для события

 Теорема сложения вероятностей несовместных событий

ОткудаТеорема сложения вероятностей несовместных событий.(2.8)

 

Подставив (2.7) и (2.8) в (2.6), находим

P(A+B) = P(A) + P(B) — P(AB).

 

Пример. Если вероятность поступления в магазин одного вида товара равна P(A) = 0,4,

а второго товара — P(B) = 0,5, и если допустить, что эти события независимы, но совместны, то вероятность суммы событий равна

P(A+B) = 0,4 + 0,5 — 0,4×0,5 = 0,7.

Надеюсь, эта статья про теорема сложения вероятностей несовместных событий, была вам полезна, счастья и удачи в ваших начинаниях! Надеюсь, что теперь ты понял что такое теорема сложения вероятностей несовместных событий и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про теорема сложения вероятностей несовместных событий
создано: 2015-01-01
обновлено: 2021-03-13
132588



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Термины: Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ