Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

Производящая функция канонического преобразования кратко

Лекция



Привет, сегодня поговорим про производящая функция канонического преобразования , обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое производящая функция канонического преобразования , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

В гамильтоновой механике каноническое преобразование (также контактные преобразования) — это преобразование канонических переменных и гамильтониана не меняющие общий вид уравнений Гамильтона для любой гамильтоновой системы. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид уравнений Гейзенберга. Они позволяют свести задачу с определенным гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют группу.

Определение

Преобразования

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования, где Производящая функция канонического преобразования — число степеней свободы,

Производящая функция канонического преобразования

называются каноническими, если это преобразование переводит уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона Производящая функция канонического преобразования:

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

в уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона Производящая функция канонического преобразования:

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

Переменные Производящая функция канонического преобразования и Производящая функция канонического преобразования называются новыми координатами и импульсами, соответственно, а Производящая функция канонического преобразования и Производящая функция канонического преобразованиястарыми координатами и импульсами.

Производящие функции

Из инвариантности интеграла Пуанкаре-Картана и теореме Ли Хуа-чжуна о его единственности можно получить:

Производящая функция канонического преобразования

где постоянную Производящая функция канонического преобразования называют валентностью канонического преобразования, Производящая функция канонического преобразования — полный дифференциал некоторой функции Производящая функция канонического преобразования(предполагается, что Производящая функция канонического преобразования и Производящая функция канонического преобразования также выражены через старые переменные). Она называется производящей функцией канонического преобразования. Канонические преобразования взаимнооднозначно определяются производящей функцией и валентностью.

Канонические преобразования для которых Производящая функция канонического преобразования называется унивалентными. Так как при заданной производящей функции различные Производящая функция канонического преобразования изменяют выражения для новых координат через старые, а также для гамильтониана только на константу, то часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования.

Производящая функция часто может быть выражена не через старые координаты и импульсы, а через любые две из четырех переменных Производящая функция канонического преобразования, причем выбор независим для каждого Производящая функция канонического преобразования. Удобным оказывается выразить ее так, чтобы для каждого Производящая функция канонического преобразования одна переменная был новой, а другая старой. Существует лемма утверждающая, что это можно сделать всегда. Дифференциал функции Производящая функция канонического преобразования имеет явный вид полного дифференциала в том случае, когда она выражена через старые и новые координаты Производящая функция канонического преобразования. При использовании других пар координат удобно перейти к функциям, дифференциал которых будет иметь явный вид полного дифференциала для соответствующих переменных. Для этого нужно сделать преобразования Лежандра исходной функции Производящая функция канонического преобразования. Полученные функции называют производящими функциями канонического преобразования в соответствующих координатах. В случае когда выбор координат одинаков для всех Производящая функция канонического преобразованиявозможны четыре варианта выбора переменных, соответствующие функции принято обозначать номерами:

Производящая функция канонического преобразования

где для простоты введены векторы старых скоростей и импульсов Производящая функция канонического преобразования, Производящая функция канонического преобразования, аналогично и для новых скоростей и импульсов. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . О таких производящих функциях говорят как о производящих функциях 1-го, 2-го, 3-го или 4-го типа соответственно.

Производящая функция 1-го типа

Пусть Производящая функция канонического преобразования — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

Производящая функция канонического преобразования

кроме того, задано некоторое число Производящая функция канонического преобразования, тогда пара Производящая функция канонического преобразования задает каноническое преобразование по правилу

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

Связь с исходной производящей функцией:

Производящая функция канонического преобразования

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если неравен нулю якобиан:

Производящая функция канонического преобразования

Канонические преобразования, дополненные этим условием называют свободными.

Производящая функция 2-го типа

Пусть Производящая функция канонического преобразования — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

Производящая функция канонического преобразования

кроме того, задано некоторое число Производящая функция канонического преобразования, тогда пара Производящая функция канонического преобразования задает каноническое преобразование по правилу

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

Связь с исходной производящей функцией:

Производящая функция канонического преобразования

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если неравен нулю якобиан:

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция 3-го типа

Пусть Производящая функция канонического преобразования — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

Производящая функция канонического преобразования

кроме того, задано некоторое число Производящая функция канонического преобразования, тогда пара Производящая функция канонического преобразования задает каноническое преобразование по правилу

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

Связь с исходной производящей функцией:

Производящая функция канонического преобразования

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция 4-го типа

Пусть Производящая функция канонического преобразования — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

Производящая функция канонического преобразования

кроме того, задано некоторое число Производящая функция канонического преобразования, тогда пара Производящая функция канонического преобразования задает каноническое преобразование по правилу

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

Связь с исходной производящей функцией:

Производящая функция канонического преобразования

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если неравен нулю якобиан:

Производящая функция канонического преобразования

Примеры

1. Тождественное преобразование

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

может быть получено при:

Производящая функция канонического преобразования

2. Если задать

Производящая функция канонического преобразования

то полученное преобразование будет иметь вид:

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

Таким образом, разделение канонических переменных на координаты и импульсы с математической точки зрения является условным.

3. Преобразование инверсии

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

может быть получено при:

Производящая функция канонического преобразования

4. Точечные преобразования (преобразования при которых новые координаты выражаются только через старые координаты и время, но не старые импульсы.)

Они всегда могут быть заданы с помощью:

Производящая функция канонического преобразования

тогда

Производящая функция канонического преобразования

В частности, если

Производящая функция канонического преобразования

где Производящая функция канонического преобразования — ортогональная матрица:

Производящая функция канонического преобразования

то

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

К точечным преобразования приводит и функция:

Производящая функция канонического преобразования

тогда

Производящая функция канонического преобразования

В частности функция

Производящая функция канонического преобразования

задает переход от декартовых координат к цилиндрическим.

5. Линейные преобразования переменных Производящая функция канонического преобразования системы с одной степенью свободы:

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

является унивалентным каноническим преобразованием при

Производящая функция канонического преобразования

производящая функция:

Производящая функция канонического преобразования

Такие преобразования образуют специальную линейную группу Производящая функция канонического преобразования.

Действие как производящая функция

Действие, выраженное как функция координат и импульсов конечной точки

Производящая функция канонического преобразования

задает каноническое преобразование гамильтоновой системы.

Скобки Пуассона и Лагранжа

Необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Пуассона:

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

Кроме того, необходимым и достаточным условием каноничности преобразования является выполнение для произвольных функций Производящая функция канонического преобразования и Производящая функция канонического преобразования условия:

Производящая функция канонического преобразования

где под Производящая функция канонического преобразования и Производящая функция канонического преобразования понимаются скобки Пуассона по старым и новым координатам соответственно.

В случае унивалентных канонических преобразований:

Производящая функция канонического преобразования

и говорят, что скобки Пуассона инвариантны относительно таких преобразований. Иногда канонические преобразования так определяют (при этом каноническими преобразованиями считают только унивалентные).

Аналогично, необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Лагранжа:

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

Производящая функция канонического преобразования

Надеюсь, эта статья про производящая функция канонического преобразования , была вам полезна, счастья и удачи в ваших начинаниях! Надеюсь, что теперь ты понял что такое производящая функция канонического преобразования и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про производящая функция канонического преобразования
создано: 2014-12-31
обновлено: 2021-12-26
132663



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Термины: Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ