Доска Гальтона (квинкункс) для демонстрации центральной предельной теоремы

Привет, сегодня поговорим про доска гальтона квинкункс для демонстрации центральной предельной теоремы, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое доска гальтона квинкункс для демонстрации центральной предельной теоремы , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

Доска́ Га́льтона (англ. Galton box, также распространены названия квинкункс, quincunx и bean machine) — устройство, изобретенное английским ученым Фрэнсисом Гальтоном (первый экземпляр изготовлен в 1873 году^[1], затем устройство было описано Гальтоном в книге Natural inheritance, изданной в 1889 году) и предназначающееся для демонстрации центральной предельной теоремы.

 

 

Устройство доски

Доска Гальтона представляет собой ящик с прозрачной передней стенкой. В заднюю стенку в шахматном порядке вбиты штырьки, образующие треугольник. Сверху в ящик через воронку (выход из которой расположен ровно посередине между левой и правой стенками) кидаются шарики. В идеальном случае сталкиваясь со штырьком, шарик каждый раз с одинаковой вероятностью может повернуть либо направо, либо налево. Нижняя часть ящика разделена перегородками (число которых равно числу штырьков в нижнем ряду), в результате чего шарики, скатываясь на дно ящика, образуют столбики, которые тем выше, чем ближе к середине доски (при достаточно большом числе шариков внешний вид столбиков приближается к кривой нормального распределения).

Если нарисовать на задней стенке треугольник Паскаля, то можно увидеть, сколькими путями можно добраться до каждого из штырьков (чем ближе штырек к центру, тем больше число путей).

В некоторых настольных играх, а также игровом автомате Патинко, используется доска Гальтона или схожие с ней устройства.

Распределение шариков 

Обозначим как n общее число столкновений шарика со штырьками; как k число раз, когда шарик поворачивает направо (таким образом, он оказывается в k-м по порядку столбике). Тогда число способов, которыми он может добраться до k-го столбика, определяется биномиальным коэффициентом . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Отсюда следует, что вероятность оказаться в k-м столбике равна , где p — вероятность поворота направо (обычно можно считать, что ). Это функция вероятностибиномиального распределения, которое в соответствии с центральной предельной теоремой при достаточно большом n аппроксимирует нормальное распределение.

 Пример расчета 

Доска Гальтона представляет собой ящик, на задней стенке которого укреплены две наклонные планки, образующие воронку; в середине - несколько рядов вбитых в стенку и расположенных в шахматном порядке гвоздей; внизу - система одинаковых вертикальных ячеек (рис. 1.1). Передняя стенка ящика стеклянная.

Пронумеруем ячейки 1, 2,..., . Возьмем горошину, бросим ее в воронку и проследим за ее движением. Горошина, претерпев ряд столкновений с гвоздями, попадет в какую-нибудь, например, i-тую ячейку. Достанем горошину из ящика и вновь бросим ее в воронку. И теперь горошина после ряда столкновений с гвоздями попадет в какую-нибудь ячейку. Но в общем случае эта ячейка будет уже другой. Совершим так N бросаний горошины, каждый раз отмечая, в какую ячейку она попадет. Пусть n₁ - число попаданий в первую ячейку, n₂ - во вторую и т.д., n_i - в i-тую, n_k - в k-тую. Число N называют числом испытаний, а число - числом положительных исходов. Отношение  - частота положительных исходов для i-той ячейки.

Если N - велико (в идеале бесконечно большое), то  - вероятность положительного исхода, т.е. вероятность того, что горошина после столкновений с гвоздями попадет в i-тую ячейку.

Во всех этих рассуждениях очень важно отметить следующее:

1. Столкновения горошины с гвоздями - это случайные (непредсказуемые) процессы. Мы никогда не знаем, с какими гвоздями, с каким количеством гвоздей и каким образом столкнется горошина.
2. Так как столкновения случайны, то мы никогда не знаем, где и с какой скоростью горошина покинет слой гвоздей и, как следствие, в какую ячейку попадет.

Траектория горошины, число столкновений, конечная скорость (после последнего столкновения), ячейка, в которую попадает горошина - все это игра случая, пока число бросков (испытаний) невелико. Хотя движение горошины подчиняется законам механики Галилея-Ньютона, мы не можем знать конечного результата. Другое дело, когда число испытаний (бросаний) огромно. Траектория и число столкновений горошины также непредсказуемы, но конечную скорость и число попаданий в i-тую ячейку мы можем рассчитать с некоторой вероятностью. Построим гистограмму частот положительных исходов и проведем огибающую. В случае, когда , каждый из столбиков гистограммы соответствует вероятности положительного исхода, тогда .

Но P_i - это площадь i-того столбика на гистограмме и  - площадь под огибающей кривой (рис. 1.2).

Огибающая кривая показывает, как распределены вероятности по номерам ячеек. Математическая функция, которой соответствует эта кривая, называется статистической функцией распределения вероятностей. В нашем конкретном случае такое статистическое распределение называют нормальным, а функцию называют функцией Гаусса. Ее аналитическое выражение имеет вид: 

где P_i - вероятность i-того положительного исхода, n_i - число положительных i-тых исходов, С - некоторая константа, е, - основание натурального логарифма,  - математическое ожидание, которое находится как 
где N - число испытаний.

 

Изменим характер опыта. Возьмем N одинаковых горошин и каждую из них бросим в воронку один раз. Мы вправе ожидать уже полученного результата. Почему? Горошины совершенно одинаковы! Следовательно, и результат будет прежний.

Изменим еще раз характер опыта. Возьмем N одинаковых горошин и высыпем их все разом в воронку. Что изменится в движении горошин? Изменится число столкновений, т.к. теперь горошины сталкиваются не только с гвоздями, но и друг с другом. Но в конечном случае все горошины распределяются по ячейкам. Обозначим  - число горошин в i-той ячейке, тогда  - вероятность того, что горошина попадет в i-тую ячейку. Обращая внимание на то, что кривая распределения вероятностей имеет такой же характер, как и в двух предыдущих опытах, приходим к выводу: 

т.е. наша система из N горошин подчиняется статистическому закону распределения. Окончательный вывод: система из N элементов с внутренними случайными процессами подчиняется законам статистики. Такие системы называются статистическими системами. 

Надеюсь, эта статья про доска гальтона квинкункс для демонстрации центральной предельной теоремы, была вам полезна, счастья и удачи в ваших начинаниях! Надеюсь, что теперь ты понял что такое доска гальтона квинкункс для демонстрации центральной предельной теоремы и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про доска гальтона квинкункс для демонстрации центральной предельной теоремы