Производящая функция - виды сущность и история кратко

Привет, сегодня поговорим про понятие - производящая функция, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое понятие - производящая функция , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

Производящая функция:

• Производящая функция моментов — способ задания вероятностных распределений. Обычно используется для вычисления моментов в теории вероятностей.
• Производящая функция последовательности — формальный степенной ряд, коэффициенты которого образуют заданную последовательность.
• Производящая функция канонического преобразования — функция, частные производные от которой задают искомое каноническое преобразование.
• Производящая функция вероятностей — в теории вероятностей, производящая функция вероятностей дискретной случайной величины представляет собой степенной ряд функции вероятности случайной величины.

Подробнее о них

• производящая функция моментов , пфм ,
• производящая функция последовательности , генератриса ,
• производящая функция канонического преобразования ,

Идея производящих функций достаточно проста: сопоставим некоторой последовательности 0, g1, g2, ..., gn> — дискретному объекту, степенной ряд g0 + g1z + g2z2 +… + gnzn +… — объект непрерывный, тем самым мы подключаем к решению задачи целый арсенал средств математического анализа. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Обычно говорят, последовательность генерируется, порождается производящей функцией. Важно понимать, что это символьная конструкция, то есть вместо символа z может быть любой объект, для которого определены операции сложения и умножения.

История возникновения производящих функций

Известно, что начало методу производящих функций положил английский математик Абрахам де Муавр, а дальнейшему развитию и продолжению данного метода мы обязаны великому математику, имя которого Леонард Эйлер.

В 50-х годах XVIII века Эйлер решал следующую задачу: какие грузы можно взвесить с помощью гирь в 20, 21, 22,..., 2n грамм и сколькими способами? При решении этой задачи он использовал никому неизвестный на то время метод производящих функций, которому и посвящена данная статья. К этой задаче мы вернемся немного позже, после того как разберемся более подробно с устройством производящих функций.

Метод производящих функций

Изучение этого мощного механизма позволяющего решать многие задачи, мы начнем с простенькой задачи: сколькими способами можно расположить в линию черные и белые шары, общее количество которых равно n?

Обозначим белый шар символом ○, черный — ●, Tn — искомое количество расположений шаров. Символом Ø — обозначим нулевое количество шаров. Как и любое решение комбинаторной задачи начнем с тривиальных случаев:

Если n=1, то очевидно имеется 2 способа — взять либо белый шар ○, либо взять черный шар ●, таким образом, T2 = 2.

Если n=2, то имеется 4 способа расположений: ○○, ○●, ●○, ●●.

Рассмотрим случай для n=3. Мы можем начать белым шаром и продолжить 4-мя комбинациями, описанными выше ○○○, ○○●, ○●○, ○●●, или же мы можем начать черным шаром и аналогично продолжить 4-мя шарами ●○○, ●○●, ●●○, ●●●.

В итоге количество шаров удвоилось, то есть T3 = 2T2. Аналогично T4 = 2T3, то есть, обобщая для всех n, получаем рекуррентное уравнение Tn = 2Tn-1 которое и является решением для данной задачи. Решение такого уравнения можно легко угадать — Tn = 2n (так как 2⋅2n-1 = 2n).

А что если у нас плохо с угадыванием? И что делать, если уравнение будет сложнее? А вообще причем здесь производящие функции?

«Просуммируем» все возможные комбинации расположений шаров:



Вопрос о допустимости такой нелепой на первый взгляд суммы опустим. Будем складывать и умножать последовательности шаров. Со сложением все понятно, но что значит умножить одну последовательность шаров на другую? Перемножив ○● на ●○ мы получим не что иное как ○●●○. Заметим, однако, что произведение шаров в отличие от произведения чисел не является коммутативным, так как ○●⋅●○ ≠ ●○⋅○●. Символ Ø — в произведении играет роль мультипликативной единицы, то есть Ø ⋅ ○○● = ○○● ⋅ Ø = ○○● и коммутирует с любой последовательностью шаров.

Производя с рядом G последовательность манипуляций, а именно вынося за скобки левый белый и черный шары



получим уравнение G = Ø + ○G +●G.

Несмотря на то, что умножение некоммутативно, и мы фактически не различаем левое и правое деление, попробуем все же «решить» это уравнение, на свой страх и риск. Получим,



Учитывая формулу суммы геометрической прогрессии , имеем

.

В этой сумме так же учтены все возможные варианты разбиения в точности по одному разу. Далее воспользуемся формулой бинома Ньютона: , где — число сочетаний из n по k. Тогда с учетом этого имеем:



Коэффициент при ○k ●n-k равный числу сочетаний из n по k, показывает общее количество последовательностей из n шаров содержащих ○ шары в количеств k штук и ● шары в количестве n-k штук. Таким образом, общее количество расположений n шаров есть сумма по всем возможным значениям k. Как известно .

Эту формулу можно было получить непосредственно из заменив Ø на 1, а ○ и ● на z (в виду их равнозначности). Получим то есть коэффициент при zn равен 2n.

Cм. также

• таблица производящих функций ,
• производящая функция моментов , пфм ,
• производящая функция последовательности , генератриса ,
• производящая функция канонического преобразования ,

Надеюсь, эта статья про понятие - производящая функция, была вам полезна, счастья и удачи в ваших начинаниях! Надеюсь, что теперь ты понял что такое понятие - производящая функция и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ