Квантиль, процентиль, квантиль, дециль, медиана, мода кратко

Привет, сегодня поговорим про квантиль, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое квантиль, процентиль, квантиль, дециль, медиана, мода , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

квантиль в математической статистике — значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью.

Определение

Рассмотрим вероятностное пространство и — вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины . Пусть фиксировано . Тогда -квантилью (или квантилью уровня ) распределения называется число , такое что

В некоторых источниках (например, в англоязычной литературе) -ой -квантилью называется квантиль уровня , то есть -квантиль в предыдущих обозначениях.

Замечания

• Если распределение непрерывно, то -квантиль однозначно задается уравнением

где — функция распределения .

• Очевидно, для непрерывных распределений справедливо следующее широко использующееся при построении доверительных интервалов равенство:

• Для эмпирического распределения -квантиль можно задать следующим способом:

1. составляем вариационный ряд значений (выборка имеет объем ), а также считаем, что (это необходимо при вычислении 100% квантили по приводимым ниже формулам);
2. находим величину ;
3. сравниваем и :

a) если , то полагаем ;

б) если , то полагаем ;

в) если , то полагаем .

Заданная таким образом -квантиль удовлетворяет приведенному выше определению.

В некоторых случаях (при большом объеме выборки и эмпирическом распределении, близком к непрерывному) вместо равенства можно использовать приближенное сравнение (это позволит, например, квантиль уровня 1/3 представлять как 0,33…333 при компьютерной обработке данных).

медиана и квартили

• 0,25-квантиль называется первым (или нижним) квартилем (от лат. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . quarta — четверть);
• 0,5-квантиль называется медианой (от лат. mediāna — середина) или вторым квартилем;
• 0,75-квантиль называется третьим (или верхним) квартилем.

Интерквартильным размахом (англ. Interquartile range) называется разность между третьим и первым квартилями, то есть . Интерквартильный размах является характеристикой разброса распределения величины и является робастныманалогом дисперсии. Вместе, медиана и интерквартильный размах могут быть использованы вместо математического ожидания и дисперсии в случае распределений с большими выбросами, либо при невозможности вычисления последних.

дециль

Дециль характеризует распределение величин совокупности, при котором девять значений дециля делят ее на десять равных частей. Любая из этих десяти частей составляет 1/10 всей совокупности. Так, первый дециль отделяет 10 % наименьших величин, лежащих ниже дециля от 90 % наибольших величин, лежащих выше дециля.

Так же, как в случае моды и медианы, у интервального вариационного ряда распределения каждый дециль (и квартиль) принадлежит определенному интервалу и имеет вполне определенное значение .

Перцентиль

-ой перценти́лью называют квантиль уровня . При этом обычно рассматривают перцентили для целых , хотя данное требование не обязательно . Соответственно, медиана является 50-й перцентилью, а первый и третий квартиль — 25-й и 75-й перцентилями.

В целом, понятия квантиль и перцентиль взаимозаменяемы , так же как и шкалы исчисления вероятностей — абсолютная и процентная.

Перцентили также называются процентилями или центилями.

Квантили стандартного нормального распределения

Вероятность (уровень квантили), %	99,99	99,90	99,00	97,72	97,50	95,00	90,00	84,13	50,00
Квантиль	3,715	3,090	2,326	2,000	1,960	1,645	1,282	1,000	0,000

мода в статистике

Мода — значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. (Мода = типичность.) Иногда в совокупности встречается более чем одна мода (например: 6, 2, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 0; мода — 6 и 9). В этом случае можно сказать, что совокупность мультимодальна. Из структурных средних величин только мода обладает таким уникальным свойством. Как правило, мультимодальность указывает на то, что набор данных не подчиняется нормальному распределению.

Мода как средняя величина употребляется чаще для данных, имеющих нечисловую природу. Среди перечисленных цветов автомобилей — белый, черный, синий металлик, белый, синий металлик, белый — мода будет равна белому цвету. При экспертной оценке с ее помощью определяют наиболее популярные типы продукта, что учитывается при прогнозе продаж или планировании их производства.

Для интервального ряда мода определяется по формуле:

здесь X_Mо — левая граница модального интервала, h_Мо — длина модального интервала, f_{Мо − 1} — частота премодального интервала, f_Мо — частота модального интервала, f_{Мо + 1} — частота послемодального интервала .

Модой абсолютно непрерывного распределения называют любую точку локального максимума плотности распределения. Для дискретных распределений модой считают любое значение a_i, вероятность которого p_i больше, чем вероятности соседних значений.

Свравнение стреднего и процентиля и медианы

Данные часто описывают с помощью среднего значения: — средний рост человка, — средняя оценка фильма, — среднегодовой курс $. Вместо среднего лучше использовать медиану и процентили.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

Математика	Среднее степенное (взвешенное) Среднее гармоническое взвешенное Среднее геометрическое взвешенное Среднее арифметическое взвешенное Среднее квадратическое Среднее кубическое Скользящая средняя Среднее арифметико-геометрическое Среднее значение функции Среднее Колмогорова
Геометрия	Геометрический центр Барицентр
Теория вероятностей и математическая статистика	Винзоризованное среднее Выборочное среднее Математическое ожидание Медиана Мода Среднеквадратическое отклонение Среднее усеченное Условное математическое ожидание
Информационные технологии	Медоид Метод k-медиан
Теоремы	Первая теорема о среднем Вторая теорема о среднем Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим
Другое	Показатели центра распределения

Надеюсь, эта статья про квантиль, была вам полезна, счастья и удачи в ваших начинаниях! Надеюсь, что теперь ты понял что такое квантиль, процентиль, квантиль, дециль, медиана, мода и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про квантиль