Математическое ожидание

Привет, сегодня поговорим про ма тическое ожидание, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое ма тическое ожидание , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины (это распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей)^[1]. В англоязычной литературе обозначается через ^[2] (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской —  (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от «Математическое ожидание»). В статистике часто используют обозначение .

Определение [править ]

Пусть задано вероятностное пространство   и определенная на нем случайная величина . То есть, по определению,  — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от  по пространству , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается  или .

Основные формулы для математического ожидания[править ]

• Если  —  функция распределения  случайной величины, то ее математическое ожидание задается интегралом Лебега — Стилтьеса:

.

Математическое ожидание дискретного распределения[править ]

• Если  — дискретная случайная величина, имеющая распределение

,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

.

Математическое ожидание целочисленной величины[править ]

• Если  — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей

то ее математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности 

как значение первой производной в единице: . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Если математическое ожидание  бесконечно, то  и мы будем писать 

Теперь возьмем производящую функцию  последовательности «хвостов» распределения 

Эта производящая функция связана с определенной ранее функцией  свойством:  при . Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения[править ]

• Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задается плотностью , равно

.

Математическое ожидание случайного вектора[править ]

Пусть  — случайный вектор . Тогда по определению

,

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины[править ]

Пусть  — борелевская функция , такая что случайная величина  имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

,

если  имеет дискретное распределение;

,

если  имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение  случайной величины  общего вида, то

.

В специальном случае, когда , Математическое ожидание  называется -тым моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания[править ]

• Математическое ожидание числа есть само число .

 — константа;

• Математическое ожидание линейно, то есть

,

где  — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а  — произвольные константы;

• Математическое ожидание сохраняет неравенства , то есть если  почти наверное, и  — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины  также конечно, и более того

;

• Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если  почти наверное, то

.

• Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин  равно произведению их математических ожиданий

.

Дополнительные свойства математического ожидания[править ]

• Неравенство Маркова;
• Теорема Леви о монотонной сходимости;
• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости;
• Тождество Вальда;
• Лемма Фату.
• Математическое ожидание случайной величины  может быть выражено через ее производящую функцию моментов  как значение первой производной в нуле: 

Примеры[править ]

• Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть  Тогда ее математическое ожидание

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

• Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале , где . Тогда ее плотность имеет вид  и математическое ожидание равно

.

• Пусть случайная величина   имеет стандартное распределение Коши. Тогда

,

то есть математическое ожидание   не определено.

Примечания[править ]

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря![править ]

На этом все! Теперь вы знаете все про ма тическое ожидание, Помните, что это теперь будет проще использовать на практике. Надеюсь, что теперь ты понял что такое ма тическое ожидание и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ