Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин кратко

Лекция



Привет, Вы узнаете о том , что такое плотность распределения системы двух случайных величин, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое плотность распределения системы двух случайных величин , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

Введенная в предыдущем 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин характеристика системы - функция распределения - существует для систем любых случайных величин, как прерывных, так и непрерывных. Основное практическое значение имеют системы непрерывных случайных величин. Распределение системы непрерывных величин обычно характеризуют  не функцией распределения, а плотностью распределения.

 

Вводя в рассмотрение плотность распределения для одной случайной величины, мы определяли ее как предел отношения вероятности попадания на малый участок к длине этого участка при ее неограниченном уменьшении. Аналогично определим плотность распределения системы двух величин.

Пусть имеется система двух непрерывных случайных величин 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, которая интерпретируется  случайной точкой на плоскости 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин. Рассмотрим на этой плоскости малый прямоугольник 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин со сторонами 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин и 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, примыкающий к точке с координатами 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин (рис. 8.3.1). Вероятность попадания в этот прямоугольник по формуле (8.2.2) равна

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин

Рис. 8.3.1

Разделим вероятность попадания в прямоугольник 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин на площадь этого прямоугольника и перейдем к пределу при 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин и 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин:

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин       (8.3.1)

 

Предположим, что функция 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин не только непрерывна, но и дифференцируема; тогда правая часть формулы (8.3.1) представляет собой вторую смешанную частную производную функции 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин по 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин и 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин. Обозначим эту производную 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин:

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин                                          (8.3.2)

Функция 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин называется плотностью распределения системы.

Таким образом, плотность распределения системы представляет собой предел отношения вероятности попадания в малый прямоугольник к площади этого прямоугольника, когда оба его размера стремятся к нулю; она может быть выражена как вторая смешанная частная производная функции распределения системы по обоим аргументам.

Если воспользоваться «механической» интерпретацией распределения системы как распределения единичной массы по плоскости 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, функция 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин представляет собой плотность распределения массы в точке 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин

Рис. 8.3.2

Геометрически функцию 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин можно изобразить некоторой поверхностью (рис. 8.3.2). Эта поверхность аналогична кривой распределении для одной случайной величины и называется поверхностью распределения.

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин

Рис. 8.3.3

Если пересечь поверхность распределения 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин плоскостью, параллельной плоскости 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, и спроектировать полученное сечение на плоскость 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, получится кривая, в каждой точке которой плотность распределения постоянна. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Такие кривые называются кривыми равной плотности. Кривые равной плотности, очевидно, представляют собой горизонтали поверхности распределения. Часто бывает удобно задавать распределение семейством кривых равной плотности.

Рассматривая плотность распределения 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин для одной случайной величины, мы ввели понятие «элемента вероятности» 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин. Это есть вероятность попадания случайной величины 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величинна элементарный участок 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, прилегающий к точке 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин. Аналогичное понятие «элемента вероятности» вводится и для системы двух величин. Элементом вероятности в данном случае называется выражение

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.

Очевидно, элемент вероятности есть не что иное, как вероятность попадания  в элементарный прямоугольник со сторонами 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, примыкающий к точке 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин (рис. 8.3.3).

Эта вероятность равна объему элементарного параллелепипеда, ограниченного сверху поверхностью 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин и опирающегося на элементарный прямоугольник 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин (рис. 8.3.4).

Пользуясь понятием элемента вероятности, выведем выражение для вероятности попадания случайной точки в произвольную область 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин. Эта вероятность, очевидно, может быть получена суммированием (интегрированием) элементов вероятности по всей области 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин:

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин                                                       (8.3.3)

Геометрически вероятность попадания в область 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин изображается объемом цилиндрического тела 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, ограниченного сверху поверхностью распределения и опирающегося на область 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин (рис. 8.3.5).

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин

Рис. 8.3.4                                                              Рис. 8.3.5

Из общей формулы (8.3.3) вытекает формула для вероятности попадания в прямоугольник 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, ограниченный абсциссами 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин и 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин и ординатами 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин и 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин  (рис. 8.3.5);

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.                                       (8.3.4)

Воспользуемся формулой (8.3.4) для того, чтобы выразить функцию распределения системы 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин через плотность распределение 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин. Функция распределения 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин есть вероятность попадания в бесконечный квадрант; последний можно рассматривать как прямоугольник, ограниченный абсциссами - 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин и 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин и ординатами - 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин и 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин. По формуле (8.3.4) имеем:

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.                                 (8.3.5)

Легко убедиться в следующих свойствах плотности распределения системы:

1. Плотность распределения системы есть функция неотрицательная:

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.

Это ясно из того, что плотность распределения есть предел отношения двух неотрицательных величин: вероятности попадания в прямоугольник и площади прямоугольника - и, следовательно, отрицательной быть не может.

2. Двойной интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения системы равен единице:

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин                                                     (8.3.6)

Это видно из того, что интеграл (8.3.6) есть не что иное, как вероятность попадания во всю плоскость 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, т.е. вероятность достоверного события.

Геометрически это свойство означает, что полный объем тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостью 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, равен единице.

Пример 1. Система двух случайных величин 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин подчинена закону распределения с плотностью

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.

Найти функцию распределения 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин. Определить вероятность попадания случайной точки 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величинв квадрат 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин (рис. 8.3.6).

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин

Рис. 8.3.6

Решение. Функцию распределения 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величиннаходим по формуле (8.3.5).

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.

Вероятность попадания в прямоугольник 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин находим по формуле (8.3.4):

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.

Пример 2. Поверхность распределения системы 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин представляет собой прямой круговой конус, основанием которого служит круг радиуса 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин с центром в начале координат. Написать выражение плотности распределения. Определить вероятность того, что случайная точка 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин попадет в круг 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин радиуса 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин (рис. 8.3.7), причем 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин

Рис. 8.3.7                                                              Рис. 8.3.8

Решение. Выражение плотности распределения внутри круга 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин находим из рис. 8.3.8:

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин,

где 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин - высота конуса. Величину 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин определяем так, чтобы объем конуса был равен единице: 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, откуда

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин,

и

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.

Вероятность попадания в круг 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин определяем по формуле (8.3.4):

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.           (8.3.7)

Для вычисления интеграла (8.3.7) удобно перейти к полярной системе координат 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин:

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.

 

Информация, изложенная в данной статье про плотность распределения системы двух случайных величин , подчеркивают роль современных технологий в обеспечении масштабируемости и доступности. Надеюсь, что теперь ты понял что такое плотность распределения системы двух случайных величин и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про плотность распределения системы двух случайных величин
создано: 2017-07-02
обновлено: 2021-03-13
132300



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Термины: Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ