Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин кратко

Лекция



Привет, Вы узнаете о том , что такое оценки для числовых характеристик системы случайных величин, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое оценки для числовых характеристик системы случайных величин , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

В 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин 14.1 - 14.4 мы рассмотрели задачи, связанные с оценками для числовых характеристик одной случайной величины при ограниченном числе опытов и построением для этих характеристик доверительных интервалов.

 

Аналогичные вопросы возникают и при обработке ограниченного числа наблюдений над двумя и более случайными величинами.

Здесь мы ограничимся рассмотрением только точечных оценок для характеристик системы.

Рассмотрим сначала случай двух случайных величин.

Имеются результаты 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин независимых опытов над системой случайных величин 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин, давшие результаты:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин; …; 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.

Требуется найти оценки для числовых характеристик системы: математических ожиданий 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин, дисперсий 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин и корреляционного момента 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.

Этот вопрос решается аналогично тому, как мы решили его для одной случайной величины. Несмещенными оценками для математических ожиданий будут средние арифметические:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин,                  (14.6.1)

а для элементов корреляционной матрицы -

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин                     (14.6.2)

Доказательство может быть проведено аналогично 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин 14.2.

При непосредственном вычислении оценок для дисперсий и корреляционного момента часто бывает удобно воспользоваться связью между центральными и начальными статистическими моментами:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин                (14.6.3)

где

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин                      (14.6.4)

Вычислив статистические моменты по формулам (14.6.3), можно затем найти несмещенные оценки для элементов корреляционной матрицы по формулам:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин                 (14.6.5)

Пример. Произведены стрельбы с самолета по земле одиночными выстрелами. Зарегистрированы координаты точек попадания и одновременно записаны соответствующие значения угла скольжения самолета. Наблюденные значения угла скольжения 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин (в тысячных радиана) и абсциссы точки попадания 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин (в метрах) приведены в таблице 14.6.1.

Таблица 14.6.1

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

1

-8

-10

11

+3

-1

2

+10

-2

12

-2

+4

3

+22

+4

13

+28

+12

4

+55

+10

14

+62

+20

5

+2

-1

15

-10

-11

6

-39

-1+

16

-8

+2

7

-15

-8

17

+22

+14

8

+5

-2

18

+3

+6

9

+10

+6

19

-32

-12

10

+18

+8

20

+8

+1

Найти оценки для числовых характеристик системы 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.

Решение. Для наглядности наносим все пары значений 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин на график (рис. 14.6.1). Расположение точек на графике уже свидетельствует о наличии определенной зависимости (положительной корреляции) между 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.

По формулам (14.6.1) вычисляем средние значения величин 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин и 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин - оценки для математических ожиданий:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

Рис. 14.6.1.

Далее находим статистические вторые начальные моменты:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин;

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.

По формулам (14.6.3) находим статистические дисперсии:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин;

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.

Для нахождения несмещенных оценок умножим статистические дисперсии на 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин; получим:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин,

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.

Соответственно средние квадратические отклонения равны:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.

По последней формуле (14.6.4) находим статистический начальным момент:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

и статистический корреляционный момент:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.

Для определения несмещенной оценки умножаем его на 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин; получаем:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин,

откуда оценка для коэффициента корреляции равна:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.

Полученное сравнительно большое значение 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин указывает на наличие существенной связи между 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин и 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин; на этом основании можно предполагать, что скольжение является основной причиной боковых отклонений снарядов.

Перейдем к случаю обработки наблюдений над системой произвольного числа случайных величин.

Имеется система 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.

Над системой произведено 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин независимых наблюдений; результаты этих наблюдений оформлены в виде таблицы, каждая строка которой содержит 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин значений, принятых случайными величинами 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин в одном наблюдении (табл. 14.6.2).

Таблица 14.6.2

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

Числа, стоящие в таблице и занумерованные двумя индексами, представляют собой зарегистрированные результаты наблюдений; первый индекс обозначает номер случайной величины, второй - номер наблюдения, так что 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин - это значение, принятое величиной 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин в 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин-м наблюдении.

Требуется найти оценки для числовых характеристик системы: математических ожиданий 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин и элементов корреляционной матрицы:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.

По главной диагонали корреляционной матрицы, очевидно, стоят дисперсии случайных величин 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин; …; 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.

Оценки для математических ожиданий найдутся как средние арифметические:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин  14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.                       (14.6.6)

Несмещенные оценки для дисперсий определятся по формулам

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин,                      (14.6.7)

а для корреляционных моментов - по формулам

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.                   (14.6.8)

По этим данным определяются оценки для элементов нормированной корреляционной матрицы:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин,               (14.6.9)

где

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин;  14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.                   (14.6.10)

Пример. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Сброшено 10 серий бомб, по 5 бомб в каждой, и зарегистрированы точки попадания. Результаты опытов сведены в таблицу 14.6.3. В таблице буквой 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин обозначен номер серии; 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин - номер бомбы в серии.

Требуется определить подходящие значения числовых характеристик - математических ожиданий и элементов корреляционных матриц - для системы пяти случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

и системы пяти случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.

Решение. Оценки для математических ожиданий найдутся как средние арифметические по столбцам:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин;

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.

При вычислении элементов корреляционной матрицы мы не будем, как в прежних примерах, пользоваться соотношениями между начальными и центральными моментами; в данном случае ввиду сильно изменяющихся математических ожиданий пользование этим приемом не даст преимуществ. Будем вычислять оценки для моментов непосредственно по формулам (14.6.2). Для этого вычтем из каждого элемента таблицы 14.6.3 среднее значение соответствующего столбца. Результаты сведем в таблицу 14.6.4.

Таблица 14.6.3

Абсцисса X

Абсцисса Y

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

-120

-20

2

60

180

-20

-15

-8

-6

-2

2

-108

-75

-20

20

80

40

60

120

125

130

3

-200

-120

-80

-20

10

-25

-30

-20

-10

2

4

-55

-2

40

120

200

-100

-75

-35

2

2

5

5

60

100

165

220

-40

-30

-25

-30

-45

6

-240

-202

-140

-88

-30

80

30

25

10

2

7

10

65

120

160

205

14

25

25

30

10

8

-40

0

65

103

170

80

75

60

10

-4

9

-100

-40

-10

55

105

-70

-60

-30

-10

0

10

105

135

190

280

330

2

4

10

12

4

Таблица 14.6.4

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

-45,7

-0,1

-25,7

-25,8

33,0

-16,1

-13,4

-20,2

-19,3

-11,9

2

-33,

-55,1

-37,7

-65,8

-67,0

43,9

61,6

107,8

111,7

120,1

3

-125,7

-100,1

-107,7

-105,8

-137,0

-21,1

-28,4

-32,2

-23,3

-7,9

4

19,3

17,9

12,3

34,2

53,0

-96,1

-73,4

-47,2

-11,3

-7,9

5

79,3

79,9

72,3

79,2

73,0

-36,1

-28,4

-37,2

-43,3

-54,9

6

-165,7

-182,1

-167,7

-173,8

-177,0

83,9

31,6

12,8

-3,3

-7,9

7

84,3

84,9

92,3

74,2

58,0

17,9

26,6

12,8

16,7

0,1

8

34,3

19,9

37,3

17,2

23,0

83,9

76,6

47,8

-3,3

-13,9

9

-25,7

-20,1

-37,7

-30,8

-42,0

-66,1

-58,4

-42,2

-23,3

-9,9

10

179,3

154,9

162,3

194,2

183,0

5,9

5,6

-2,2

-1,3

-5,9

Возводя эти числа в квадрат, суммируя по столбцам и деля на 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин, получим оценки для дисперсий и средних квадратических отклонений:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин;

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин;

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин;

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин;

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.

Чтобы найти оценку для корреляционного момента, например, между величинами 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин и 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин составим столбец попарных произведении чисел, стоящих в первом и втором столбцах таблицы 14.6.4. Сложив все эти произведения и разделив сумму на 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин, получим:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.

Деля 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин на 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин получим:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.

Аналогично находим все остальные элементы корреляционных матриц. Для удобства умножим все элементы обеих матриц моментов на 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин. Получим:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.

(Ввиду симметричности матриц они заполнены только наполовину.)

Нормированные корреляционные матрицы имеют вид:

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин.

Рассматривая эти матрицы, убеждаемся, что величины 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин находятся в весьма тесной зависимости, приближающейся к функциональной; величины 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин связаны менее тесно, и коэффициенты корреляции между ними убывают по мере удаления от главной диагонали корреляционной матрицы.

 

 

Информация, изложенная в данной статье про оценки для числовых характеристик системы случайных величин , подчеркивают роль современных технологий в обеспечении масштабируемости и доступности. Надеюсь, что теперь ты понял что такое оценки для числовых характеристик системы случайных величин и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Ответы на вопросы для самопроверки пишите в комментариях, мы проверим, или же задавайте свой вопрос по данной теме.

создано: 2017-07-02
обновлено: 2024-11-14
39



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Поделиться:

Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей

Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Термины: Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ