Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

3.2. Теорема сложения вероятностей кратко

Лекция



Привет, Вы узнаете о том , что такое теорема сложения вероятностей, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое теорема сложения вероятностей , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

теорема сложения вероятностей формулируется следующим образом.

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

3.2. Теорема сложения вероятностей.      (3.2.1)

 

Докажем теорему сложения вероятностей для схемы случаев. Пусть возможные исходы опыта сводятся к совокупности случаев, которые мы для наглядности изобразим в виде n точек:

3.2. Теорема сложения вероятностей

Предположим, что из этих случаев 3.2. Теорема сложения вероятностей благоприятны событию3.2. Теорема сложения вероятностей, а 3.2. Теорема сложения вероятностей– событию3.2. Теорема сложения вероятностей. Тогда

3.2. Теорема сложения вероятностей

Так как события 3.2. Теорема сложения вероятностей и 3.2. Теорема сложения вероятностейнесовместимы, то нет таких случаев, которые благоприятны и3.2. Теорема сложения вероятностей, и 3.2. Теорема сложения вероятностейвместе. Следовательно, событию 3.2. Теорема сложения вероятностей благоприятны 3.2. Теорема сложения вероятностей случаев и

3.2. Теорема сложения вероятностей

Подставляя полученные выражения в формулу (3.2.1), получим тождество. Теорема доказана.

Обобщим теорему сложения на случай трех событий. Обозначая событие 3.2. Теорема сложения вероятностей буквой 3.2. Теорема сложения вероятностей, и присоединяя к сумме еще одно событие 3.2. Теорема сложения вероятностей, легко доказать, что

3.2. Теорема сложения вероятностей

Очевидно, методом полной индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий. Действительно, предположим, что она справедлива для n событий:

3.2. Теорема сложения вероятностей

и докажем, что она будет справедлива для 3.2. Теорема сложения вероятностей событий:

3.2. Теорема сложения вероятностей

Обозначим:

3.2. Теорема сложения вероятностей

Имеем:

3.2. Теорема сложения вероятностей.

Но так как для n событий мы считаем теорему уже доказанной, то

3.2. Теорема сложения вероятностей,

откуда

3.2. Теорема сложения вероятностей,

что и требовалось доказать.

Таким образом, теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий. Ее удобнее записать в виде:

3.2. Теорема сложения вероятностей.                   (3.2.2)

Отметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей.

Следствие 1. Если события 3.2. Теорема сложения вероятностей образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

3.2. Теорема сложения вероятностей.

Доказательство. Так как события 3.2. Теорема сложения вероятностей образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них – достоверное событие:

3.2. Теорема сложения вероятностей.

Так как 3.2. Теорема сложения вероятностей - несовместные события, то к ним применима теорема сложения вероятностей

3.2. Теорема сложения вероятностей,

откуда

3.2. Теорема сложения вероятностей,

что и требовалось доказать.

   Перед тем как вывести второе следствие теоремы сложения, определим понятие о «противоположных событиях».

Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу.

Событие, противоположное событию 3.2. Теорема сложения вероятностей, принято обозначать 3.2. Теорема сложения вероятностей.

Примеры противоположных событий.

1) 3.2. Теорема сложения вероятностей – попадание при выстреле, 3.2. Теорема сложения вероятностей - промах при выстреле;

2) 3.2. Теорема сложения вероятностей– выпадение герба при бросании монеты, 3.2. Теорема сложения вероятностей - выпадение цифры при бросании монеты;

3) 3.2. Теорема сложения вероятностей– безотказная работа всех элементов технической системы, 3.2. Теорема сложения вероятностей - отказ хотя бы одного элемента;

4) 3.2. Теорема сложения вероятностей– обнаружение не менее двух бракованных изделий в контрольной партии, 3.2. Теорема сложения вероятностей - обнаружение не более одного бракованного изделия.

Следствие 2. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

3.2. Теорема сложения вероятностей.

Это следствие есть частный случай следствия 1. Оно выделено особо ввиду его большой важности в практическом применении теории вероятностей. На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события 3.2. Теорема сложения вероятностей, чем вероятность прямого события 3.2. Теорема сложения вероятностей. В этих случаях вычисляют 3.2. Теорема сложения вероятностей и находят 3.2. Теорема сложения вероятностей.

Рассмотрим несколько примеров на применение теоремы сложения и ее следствий.

Пример 1. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на 100 билетов – выигрыши по 100 руб., на 50 билетов – выигрыши по 20 руб., на 100 билетов – выигрыши по 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.

Решение. Рассмотрим события:

3.2. Теорема сложения вероятностей– выиграть не менее 20 руб.,

3.2. Теорема сложения вероятностей - выиграть 20 руб.,

3.2. Теорема сложения вероятностей- выиграть 100 руб.,

3.2. Теорема сложения вероятностей - выиграть 500 руб.

Очевидно,

3.2. Теорема сложения вероятностей.

По теореме сложения вероятностей

3.2. Теорема сложения вероятностей.

Пример 2. Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второй 0,008; в третий 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.

Решение. Рассмотрим события:

3.2. Теорема сложения вероятностей– взрыв складов,

3.2. Теорема сложения вероятностей - попадание в первый склад,

3.2. Теорема сложения вероятностей- попадание во второй склад,

3.2. Теорема сложения вероятностей -  попадание в третий склад.

Очевидно,

3.2. Теорема сложения вероятностей.

Так как при сбрасывании одной бомбы события  3.2. Теорема сложения вероятностей несовместны, то

3.2. Теорема сложения вероятностей.

Пример 3. Круговая мишень (рис. 3.2.1) состоит из трех зон: I, II и III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле 0,15, во вторую 0,23, в третью 0,17. Найти вероятность промаха.

3.2. Теорема сложения вероятностей

Рис. 3.2.1.

Решение. Обозначим 3.2. Теорема сложения вероятностей– промах, 3.2. Теорема сложения вероятностей - попадание. Тогда

3.2. Теорема сложения вероятностей,

где 3.2. Теорема сложения вероятностей - попадание соответственно в первую, вторую и третью зоны

3.2. Теорема сложения вероятностей,

откуда

3.2. Теорема сложения вероятностей.

Как уже указывалось, теорема сложения вероятностей (3.2.1) справедлива только для несовместных событий. В случае, когда события 3.2. Теорема сложения вероятностей и 3.2. Теорема сложения вероятностей совместны, вероятность суммы этих событий выражается формулой

3.2. Теорема сложения вероятностей.        (3.2.3)

В справедливости формулы (3.2.3) можно наглядно убедиться, рассматривая рисунок 3.2.2.

3.2. Теорема сложения вероятностей

Рис. 3.2.2.

Аналогично вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по формуле

3.2. Теорема сложения вероятностей.

Справедливость этой формулы также наглядно следует из геометрической интерпретации (рис. 3.2.3).

3.2. Теорема сложения вероятностей

Рис. 3.2.3.

Методом полной индукции можно доказать общую формулу для вероятности суммы любого числа совместных событий:

3.2. Теорема сложения вероятностей,    (3.2.4)

где суммы распространяются на различные значения индексов 3.2. Теорема сложения вероятностей, и т.д.

Формула (3.2.4) выражает вероятность суммы любого числа событий через вероятности произведений этих событий, взятых по одному, по два, по три и т.д.

Аналогичную формулу можно написать для произведения событий. Действительно, из рис. 3.2.2 непосредственно ясно, что

3.2. Теорема сложения вероятностей.     (3.2.5)

Из рис. 3.2.3 видно, что

3.2. Теорема сложения вероятностей.     (3.2.6)

Общая формула, выражающая вероятность произведения произвольного числа событий через вероятности сумм этих событий, взятых по одному, по два, по три и т.д., имеет вид:

3.2. Теорема сложения вероятностей.                   (3.2.7)

Формулы типа (3.2.4) и (3.2.7) находят практическое применение при преобразовании различных выражений, содержащих вероятности сумм и произведений событий. В зависимости от специфики задачи в некоторых случаях удобнее бывает пользоваться только суммами, а в других только произведениями событий: для преобразования одних в другие и служат подобные формулы.

Пример. Техническое устройство состоит из трех агрегатов: двух агрегатов первого типа - 3.2. Теорема сложения вероятностей и 3.2. Теорема сложения вероятностей- и одного агрегата второго типа – 3.2. Теорема сложения вероятностей. Агрегаты 3.2. Теорема сложения вероятностей и 3.2. Теорема сложения вероятностейдублируют друг друга: при отказе одного из них происходит автоматическое переключение на второй. Агрегат 3.2. Теорема сложения вероятностей не дублирован. Для того, чтобы устройство прекратило работу (отказало), нужно, чтобы одновременно отказали оба агрегата 3.2. Теорема сложения вероятностей и 3.2. Теорема сложения вероятностей или же агрегат 3.2. Теорема сложения вероятностей. Таким образом, отказ устройства – событие 3.2. Теорема сложения вероятностей – представляется в виде:

3.2. Теорема сложения вероятностей,

где 3.2. Теорема сложения вероятностей - отказ агрегата 3.2. Теорема сложения вероятностей3.2. Теорема сложения вероятностей- отказ агрегата 3.2. Теорема сложения вероятностей3.2. Теорема сложения вероятностей – отказ агрегата 3.2. Теорема сложения вероятностей.

Требуется выразить вероятность события 3.2. Теорема сложения вероятностей через вероятности событий, содержащих только суммы,  а не произведения элементарных событий 3.2. Теорема сложения вероятностей3.2. Теорема сложения вероятностейи 3.2. Теорема сложения вероятностей.

Решение. По формуле (3.2.3) имеем:

3.2. Теорема сложения вероятностей;       (3.2.8)

по формуле (3.2.5)

3.2. Теорема сложения вероятностей;

по формуле (3.2.6)

3.2. Теорема сложения вероятностей.

Подставляя эти выражения в (3.2.8) и производя сокращения, получим:

3.2. Теорема сложения вероятностей.

 

Информация, изложенная в данной статье про теорема сложения вероятностей , подчеркивают роль современных технологий в обеспечении масштабируемости и доступности. Надеюсь, что теперь ты понял что такое теорема сложения вероятностей и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про теорема сложения вероятностей
создано: 2017-07-02
обновлено: 2021-03-13
132311



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Термины: Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ