Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

5.2. Функция распределения кратко

Лекция



Привет, Вы узнаете о том , что такое функция распределения, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое функция распределения , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

В предыдущем параграфе  мы ввели в рассмотрение ряд распределения как исчерпывающую характеристику (закон распределения) прерывной случайной величины. Однако эта характеристика не является универсальной; она существует только для прерывных случайных величин. Нетрудно убедиться, что для непрерывной случайной величины такой характеристики построить нельзя. Действительно, непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый промежуток (так называемое «счетное множество»). Составить таблицу, в которой были бы перечислены все возможные значения такой случайной величины, невозможно. Кроме того, как мы увидим в дальнейшем, каждое отдельное значение непрерывной случайной величины обычно не обладает никакой отличной от нуля вероятностью. Следовательно, для непрерывной  случайной величины не существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует для прерывной величины. Однако различные области возможных значений случайной величины все же не являются одинаково вероятными, и для непрерывной величины существует «распределение вероятностей», хотя и не в том смысле, как для прерывной.

 

Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события 5.2. Функция распределения, а вероятностью события 5.2. Функция распределения, где 5.2. Функция распределения – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от 5.2. Функция распределения, есть некоторая функция от 5.2. Функция распределения. Эта функция называется функцией распределения случайной величины 5.2. Функция распределения и обозначается 5.2. Функция распределения:

5.2. Функция распределения.         (5.2.1)

Функцию распределения 5.2. Функция распределения иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения.

1. Функция распределения 5.2. Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при 5.2. Функция распределения 5.2. Функция распределения.

2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю:5.2. Функция распределения.

3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице: 5.2. Функция распределения.

Не давая строгого доказательства этих свойств, проиллюстрируем их с помощью наглядной геометрической интерпретации. Для этого будем рассматривать случайную величину 5.2. Функция распределения как случайную точку 5.2. Функция распределения на оси Ох (рис. 5.2.1), которая в результате опыта может занять то или иное положение. Тогда функция распределения 5.2. Функция распределения есть вероятность того, что случайная точка 5.2. Функция распределения в результате опыта попадет левее точки 5.2. Функция распределения.

5.2. Функция распределения

Рис. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . 5.2.1.

Будем увеличивать 5.2. Функция распределения, т. е. перемещать точку 5.2. Функция распределения вправо по оси абсцисс. Очевидно, при этом вероятность того, что случайная точка 5.2. Функция распределения попадет левее 5.2. Функция распределения, не может уменьшиться; следовательно, функция распределения 5.2. Функция распределения с возрастанием 5.2. Функция распределения убывать не может.

Чтобы убедиться  в том, что 5.2. Функция распределения, будем неограниченно перемещать точку 5.2. Функция распределения влево по оси абсцисс. При этом попадание случайной точки 5.2. Функция распределения левее 5.2. Функция распределения в пределе становится невозможным событием; естественно полагать, что вероятность этого события стремится к нулю, т.е. 5.2. Функция распределения.

Аналогичным образом, неограниченно перемещая точку 5.2. Функция распределения вправо, убеждаемся, что 5.2. Функция распределения, так как событие 5.2. Функция распределения становится в пределе достоверным.

График функции распределения 5.2. Функция распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции (рис. 5.2.2), значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точках функция может иметь скачки (разрывы).

5.2. Функция распределения

Рис. 5.2.2.

Зная ряд распределения прерывной случайной величины, можно легко построить функцию распределения этой величины. Действительно,

5.2. Функция распределения,

где неравенство 5.2. Функция распределения под знаком суммы указывает, что суммирование распространяется на все те значения 5.2. Функция распределения, которые меньше 5.2. Функция распределения.

Когда текущая переменная 5.2. Функция распределения проходит через какое-нибудь из возможных значений прерывной величины 5.2. Функция распределения, функция распределения меняется скачкообразно, причем величина скачка равна вероятности этого значения.

Пример 1. Производится один опыт, в котором может появиться или не появиться событие 5.2. Функция распределения. Вероятность события 5.2. Функция распределения равна 0,3. Случайная величина 5.2. Функция распределения – число появлений события 5.2. Функция распределения в опыте (характеристическая случайная величина события 5.2. Функция распределения). Построить ее функцию распределения.

Решение. Ряд распределения величины 5.2. Функция распределения имеет вид:

5.2. Функция распределения

Построим функцию распределения величины 5.2. Функция распределения:

1) при 5.2. Функция распределения

5.2. Функция распределения;

2) при 5.2. Функция распределения

5.2. Функция распределения;

3) при 5.2. Функция распределения

5.2. Функция распределения.

График функции распределения представлен на рис. 5.2.3. В точках разрыва функция 5.2. Функция распределения принимает значения, отмеченные на чертеже точками (функция непрерывна слева).

5.2. Функция распределения

Рис. 5.2.3.

Пример 2. В условиях предыдущего примера производится 4 независимых опыта. Построить функцию распределения числа появлений события 5.2. Функция распределения.

Решение. Обозначим 5.2. Функция распределения – число появлений события 5.2. Функция распределения в четырех опытах. Эта величина имеет ряд распределения

5.2. Функция распределения

Построим функцию распределения случайной величины 5.2. Функция распределения:

1) при 5.2. Функция распределения 5.2. Функция распределения;

2) при 5.2. Функция распределения 5.2. Функция распределения;

3) при 5.2. Функция распределения 5.2. Функция распределения;

4) при 5.2. Функция распределения 5.2. Функция распределения;

5) при 5.2. Функция распределения 5.2. Функция распределения;

6) при 5.2. Функция распределения 5.2. Функция распределения.

График функции распределения представлен на рис. 5.2.4.

5.2. Функция распределения

Рис. 5.2.4.

Функция распределения любой прерывной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным случайным значениям величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции 5.2. Функция распределения равна единице.

По мере увеличения числа возможных значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними скачков становится больше, а сами скачки – меньше; ступенчатая кривая становится более плавной (рис. 5.2.5); случайна величина постепенно приближается к непрерывной величине, а ее функция распределения – к непрерывной функции (рис. 5.2.6).

5.2. Функция распределения

Рис. 5.2.5.

5.2. Функция распределения

Рис. 5.2.6.

На практике обычно функция распределения непрерывной случайной величины представляет собой функцию, непрерывную во всех точках, как это показано на рис. 5.2.6. Однако можно построить примеры случайных величин, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, но для которых функция распределения не везде является непрерывной, а в отдельных точках терпит разрыв (рис. 5.2.7).

5.2. Функция распределения

Рис. 5.2.7.

Такие случайные величины называются смешанными. В качестве примера смешанной величины можно привести площадь разрушений, наносимых цели бомбой, радиус разрушительного действия которой равен R (рис. 5.2.8).

 5.2. Функция распределения

Рис. 5.2.8.

Значения этой случайной величины непрерывно заполняют промежуток от 0 до 5.2. Функция распределения, осуществляющиеся при положениях бомбы типа I и II, обладают определенной конечной вероятностью, и этим значениям соответствуют скачки функции распределения, тогда как в промежуточных значениях (положение типа III) функция распределения непрерывна. Другой пример смешанной случайной величины – время T безотказной работы прибора, испытываемого в течение времени t. Функция распределения этой случайной величины непрерывна всюду, кроме точки t.

 

 

Информация, изложенная в данной статье про функция распределения , подчеркивают роль современных технологий в обеспечении масштабируемости и доступности. Надеюсь, что теперь ты понял что такое функция распределения и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про функция распределения
создано: 2017-07-02
обновлено: 2021-03-13
132316



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Термины: Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ