Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов кратко

Лекция



Привет, Вы узнаете о том , что такое линеаризация функции нескольких случайных аргументов, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое линеаризация функции нескольких случайных аргументов , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

Имеется система 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов случайных величин:

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов

и заданы числовые характеристики системы: математические ожидания

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов

и корреляционная матрица

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов.

Случайная величина 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов есть функция аргументов 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов:

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов,                       (11.3.1)

причем функция 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов не линейна, но мало отличается от линейной в области практически возможных значений всех аргументов (короче, «почти линейная» функция). Требуется приближенно найти числовые характеристики величины 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов - математическое ожидание 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов и дисперсию 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов.

Для решения задачи подвергнем линеаризации функцию

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов.               (11.3.2)

В данном случае нет смысла пользоваться геометрической интерпретацией, так как за пределами трехмерного пространства она уже не обладает преимуществами наглядности. Однако качественная сторона вопроса остается совершенно той же, что и в предыдущем 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов.

Рассмотрим функцию 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов в достаточно малой окрестности точки 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов. Так как функция в этой окрестности почти линейна, ее можно приближенно заменить линейной. Это равносильно тому, чтобы в разложении функции в ряд Тейлора около точки 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов сохранить только члены первого порядка, а все высшие отбросить:

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов.

Значит, и зависимость (11.3.1) между случайными величинами можно приближенно заменить линейной зависимостью:

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов.                       (11.3.3)

Введем для краткости обозначение:

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов.

Учитывая, что 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов, перепишем формулу (11.3.3) в виде:

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов                  (11.3.4)

К линейной функции (11.3.4) применим способы определения числовых характеристик линейных функций, выведенные в 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов 10.2. Имея в виду, что центрированные аргументы 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов имеют математические ожидания, равные нулю, и ту же корреляционную матрицу 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов, получим:

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов,                 (11.3.5)

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов                  (11.3.6)

Переходя в последней формуле от дисперсий к средним квадратическим отклонениям, получим:

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов,                     (11.3.7)

где 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов - коэффициент корреляции величин 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов.

Особенно простой вид принимает формула (11.3.7), когда величины 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов не коррелированы, т. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . е. 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов при 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов.

В этом случае

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов.

Формулы типа (11.3.7) и (11.3.8) находят широкое применение в различных прикладных вопросах: при исследовании ошибок разного вида приборов и механизмов, а также при анализе точности стрельбы и бомбометания.

Пример 1. Относ бомбы 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов (рис. 11.3.1) выражается приближенной аналитической формулой:

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов,                      (11.3.9)

где 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов - скорость самолета (м/сек), 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов - высота сбрасывания (м), 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов - баллистический коэффициент.

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов

Рис. 11.3.1

Высота 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов определяется по высотомеру, скорость самолета 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов - по указателю скорости, баллистический коэффициент 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов принимается его номинальным значением 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов. Высотомер показывает 4000 м, указатель скорости 150 м/сек. Показания высотомера характеризуются систематической ошибкой +50 м и средним квадратическим отклонением 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов м; показания указателя скорости - систематической ошибкой - 2 м/сек и средним квадратическим отклонением 1 м/сек; разброс возможных значений баллистического коэффициента 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов, обусловленный неточностью изготовления бомбы, характеризуется средним квадратическим отклонением 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов. Ошибки приборов независимы между собой.

Найти систематическую ошибку и среднее квадратическое отклонение точки падения бомбы вследствие неточности в определении параметров 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов и 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов. Определить, какой из этих факторов оказывает наибольшее влияние на разброс точки падения бомбы.

Решение. Величины 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов и 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов представляют собой некоррелированные случайные величины с числовыми характеристиками:

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов м; 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов м;

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов м/сек; 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов м/сек;

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов;      11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов.

Так как диапазон возможных изменений случайных аргументов сравнительно невелик, для решения задачи можно применить метод линеаризации.

Подставляя в формулу (11.3.9) вместо величин 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов и 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов их математические ожидания, найдем математическое ожидание величины 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов:

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов(м).

Для сравнения вычислим номинальное значение:

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов(м).

Разность между математическим ожиданием и номинальным значением представляет собой систематическую ошибку точки падения:

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов(м).

Для определения дисперсии величины 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов вычислим частные производные:

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов,

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов,

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов

и подставим в эти выражения вместо каждого аргумента его математическое ожидание:

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов.

По формуле (11.3.8) вычислим среднее квадратическое отклонение величины 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов:

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов,

откуда

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов(м).

Сравнивая слагаемые, образующие 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов, приходим к заключению, что наибольшее из них (697,0) обусловлено наличием ошибок в скорости 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов; следовательно, в данных условиях из рассмотренных случайных факторов, обусловливающих разброс точки падения бомбы, наиболее существенной является ошибка указателя скорости.

Пример 2. Абсцисса точки попадания (в метрах) при стрельбе по самолету выражается формулой

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов,                      (11.3.10)

где 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов - ошибка наводки (м), 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов - угловая скорость цели (рад/сек), 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов - дальность стрельбы (м), 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов - ошибка, связанная с баллистикой снаряда (м).

Величины 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов представляют собой случайные величины с математическими ожиданиями:

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов

и средними квадратнческими отклонениями:

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов.

Нормированная корреляционная матрица системы (11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов) (т. е. матрица, составленная из коэффициентов корреляции) имеет вид:

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов.

Требуется найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение величины 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов.

Решение. Подставляя в формулу (11.3.10) математические ожидания аргументов, имеем:

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов(м).

Для определения среднего квадратического отклонения величины 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов найдем частные производные:

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов;

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов.

Применяя формулу (11.3.7), имеем:

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов,

откуда

11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов(м).

 

Информация, изложенная в данной статье про линеаризация функции нескольких случайных аргументов , подчеркивают роль современных технологий в обеспечении масштабируемости и доступности. Надеюсь, что теперь ты понял что такое линеаризация функции нескольких случайных аргументов и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про линеаризация функции нескольких случайных аргументов
создано: 2017-07-02
обновлено: 2021-03-13
132309



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Термины: Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ