Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое линеаризация функции нескольких случайных аргументов, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое линеаризация функции нескольких случайных аргументов , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .
Имеется система случайных величин:
и заданы числовые характеристики системы: математические ожидания
и корреляционная матрица
.
Случайная величина есть функция аргументов :
, (11.3.1)
причем функция не линейна, но мало отличается от линейной в области практически возможных значений всех аргументов (короче, «почти линейная» функция). Требуется приближенно найти числовые характеристики величины - математическое ожидание и дисперсию .
Для решения задачи подвергнем линеаризации функцию
. (11.3.2)
В данном случае нет смысла пользоваться геометрической интерпретацией, так как за пределами трехмерного пространства она уже не обладает преимуществами наглядности. Однако качественная сторона вопроса остается совершенно той же, что и в предыдущем .
Рассмотрим функцию в достаточно малой окрестности точки . Так как функция в этой окрестности почти линейна, ее можно приближенно заменить линейной. Это равносильно тому, чтобы в разложении функции в ряд Тейлора около точки сохранить только члены первого порядка, а все высшие отбросить:
.
Значит, и зависимость (11.3.1) между случайными величинами можно приближенно заменить линейной зависимостью:
. (11.3.3)
Введем для краткости обозначение:
.
Учитывая, что , перепишем формулу (11.3.3) в виде:
(11.3.4)
К линейной функции (11.3.4) применим способы определения числовых характеристик линейных функций, выведенные в 10.2. Имея в виду, что центрированные аргументы имеют математические ожидания, равные нулю, и ту же корреляционную матрицу , получим:
, (11.3.5)
(11.3.6)
Переходя в последней формуле от дисперсий к средним квадратическим отклонениям, получим:
, (11.3.7)
где - коэффициент корреляции величин .
Особенно простой вид принимает формула (11.3.7), когда величины не коррелированы, т. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . е. при .
В этом случае
.
Формулы типа (11.3.7) и (11.3.8) находят широкое применение в различных прикладных вопросах: при исследовании ошибок разного вида приборов и механизмов, а также при анализе точности стрельбы и бомбометания.
Пример 1. Относ бомбы (рис. 11.3.1) выражается приближенной аналитической формулой:
, (11.3.9)
где - скорость самолета (м/сек), - высота сбрасывания (м), - баллистический коэффициент.
Рис. 11.3.1
Высота определяется по высотомеру, скорость самолета - по указателю скорости, баллистический коэффициент принимается его номинальным значением . Высотомер показывает 4000 м, указатель скорости 150 м/сек. Показания высотомера характеризуются систематической ошибкой +50 м и средним квадратическим отклонением м; показания указателя скорости - систематической ошибкой - 2 м/сек и средним квадратическим отклонением 1 м/сек; разброс возможных значений баллистического коэффициента , обусловленный неточностью изготовления бомбы, характеризуется средним квадратическим отклонением . Ошибки приборов независимы между собой.
Найти систематическую ошибку и среднее квадратическое отклонение точки падения бомбы вследствие неточности в определении параметров , и . Определить, какой из этих факторов оказывает наибольшее влияние на разброс точки падения бомбы.
Решение. Величины , и представляют собой некоррелированные случайные величины с числовыми характеристиками:
м; м;
м/сек; м/сек;
; .
Так как диапазон возможных изменений случайных аргументов сравнительно невелик, для решения задачи можно применить метод линеаризации.
Подставляя в формулу (11.3.9) вместо величин , и их математические ожидания, найдем математическое ожидание величины :
(м).
Для сравнения вычислим номинальное значение:
(м).
Разность между математическим ожиданием и номинальным значением представляет собой систематическую ошибку точки падения:
(м).
Для определения дисперсии величины вычислим частные производные:
,
,
и подставим в эти выражения вместо каждого аргумента его математическое ожидание:
; ; .
По формуле (11.3.8) вычислим среднее квадратическое отклонение величины :
,
откуда
(м).
Сравнивая слагаемые, образующие , приходим к заключению, что наибольшее из них (697,0) обусловлено наличием ошибок в скорости ; следовательно, в данных условиях из рассмотренных случайных факторов, обусловливающих разброс точки падения бомбы, наиболее существенной является ошибка указателя скорости.
Пример 2. Абсцисса точки попадания (в метрах) при стрельбе по самолету выражается формулой
, (11.3.10)
где - ошибка наводки (м), - угловая скорость цели (рад/сек), - дальность стрельбы (м), - ошибка, связанная с баллистикой снаряда (м).
Величины представляют собой случайные величины с математическими ожиданиями:
; ; ;
и средними квадратнческими отклонениями:
; ; ; .
Нормированная корреляционная матрица системы () (т. е. матрица, составленная из коэффициентов корреляции) имеет вид:
.
Требуется найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение величины .
Решение. Подставляя в формулу (11.3.10) математические ожидания аргументов, имеем:
(м).
Для определения среднего квадратического отклонения величины найдем частные производные:
; ;
; .
Применяя формулу (11.3.7), имеем:
,
откуда
(м).
Информация, изложенная в данной статье про линеаризация функции нескольких случайных аргументов , подчеркивают роль современных технологий в обеспечении масштабируемости и доступности. Надеюсь, что теперь ты понял что такое линеаризация функции нескольких случайных аргументов и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про линеаризация функции нескольких случайных аргументов
Комментарии
Оставить комментарий
Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ
Термины: Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ