Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий кратко

Лекция



Привет, Вы узнаете о том , что такое спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени спектр дисперсий, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени спектр дисперсий , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

На двух примерах, приведенных в предыдущем 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий, мы наглядно убедились в том, что существует связь между характером корреляционной функции и внутренней структурой соответствующего ей случайного процесса. В зависимости от того, какие частоты и в каких соотношениях преобладают в составе случайной функции, ее корреляционная функция имеет тот или другой вид. Из таких соображений мы непосредственно приходим к понятию о спектральном составе случайной функции.

 

Понятие «спектра» встречается не только в теории случайных функций; оно широко применяется в математике, физике и технике.

Если какой-либо колебательный процесс представляется в виде суммы гармонических колебаний различных частот (так называемых «гармоник»), то спектром колебательного процесса называется функция, описывающая распределение амплитуд по различным частотам. Спектр показывает, какого рода колебания преобладают в данном процессе, какова его внутренняя структура.

Совершенно аналогичное спектральное описание можно дать и стационарному случайному процессу; вся разница в том, что для случайного процесса амплитуды колебаний будут случайными величинами. Спектр стационарной случайной функции будет описывать распределение дисперсий по различным частотам.

Подойдем к понятию о спектре стационарной случайной функции из следующих соображений.

Рассмотрим стационарную случайную функцию 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий, которую мы наблюдаем на интервале 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий (рис. 17.2.1).

17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий

Рис. 17.2.1.

Задана корреляционная функция случайной функции 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий

17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий.

Функция 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий есть четная функция:

17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий

и, следовательно, на графике изобразится симметричной кривой (рис. 17.2.2).

17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий

Рис. 17.2.2.

При изменении 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий и 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий от 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий до 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий аргумент 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий изменяется от 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий до 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий.

Мы знаем, что четную функцию на интервале 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий можно разложить в ряд Фурье, пользуясь только четными (косинусными) гармониками:

17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий,                     (17.2.1)

где

17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий;  17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий,      (17.2.2)

а коэффициенты 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий определяются формулами:

17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий               (17.2.3)

Имея в виду, что функции 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий и 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий четные, можно преобразовать формулы (17.2.3) к виду:

17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий                (17.2.4)

Перейдем в выражении (17.2.1) корреляционной функции 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий от аргумента 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий снова к двум аргументам 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий и 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Для этого положим

17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий  (17.2.5)

и подставим выражение (17.2.5) в формулу (17.2.1):

17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий.                  (17.2.6)

Мы видим, что выражение (17.2.6) есть не что иное, как каноническое разложение корреляционной функции 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий. Координатными функциями этого канонического разложения являются попеременно косинусы и синусы частот, кратных 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий:

17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий          17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий.

Мы знаем, что по каноническому разложению корреляционной функции можно построить каноническое разложение самой случайной функции с теми же координатными функциями и с дисперсиями, равными коэффициентам 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий в каноническом разложении корреляционной функции.

Следовательно, случайная функция 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий может быть представлена в виде канонического разложения:

17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий,             (17.2.7)

где 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий - некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и дисперсиями, одинаковыми для каждой пары случайных величин с одним и тем же индексом 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий:

17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий.            (17.2.8)

Дисперсии 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий при различных 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий определяются формулами (17.2.4).

Таким образом, мы получили на интервале 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий каноническое разложение случайной функции 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий, координатными функциями которого являются функции 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий при различных 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий. Разложение такого рода называется спектральным разложением стационарной случайной функции. На представлении случайных функций в виде спектральных разложений основана так называемая спектральная теория стационарных случайных процессов.

Спектральное разложение изображает стационарную случайную функцию разложенной на гармонические колебания различных частот:

17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий

причем амплитуды этих колебаний являются случайными величинами.

Определим дисперсию случайной функции 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий, заданной спектральным разложением (17.2.7). По теореме о дисперсии линейной функции некоррелированных случайных величин

17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий.        (17.2.9)

Таким образом, дисперсия стационарной случайной функции равна сумме дисперсий всех гармоник ее спектрального разложения. Формула (17.2.9) показывает, что дисперсия функции 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий известным образом распределена по различным частотам: одним частотам соответствуют большие дисперсии, другим - меньшие. Распределение дисперсий по частотам можно проиллюстрировать графически в виде так называемого спектра стационарной случайной функции (точнее - спектра дисперсий). Для этого по оси абсцисс откладываются частоты 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий, а по оси ординат - соответствующие дисперсии (рис. 17.2.3).

17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий

Рис. 17.2.3.

Очевидно, сумма всех ординат построенного таким образом спектра равна дисперсии случайной функции.

 

 

Информация, изложенная в данной статье про спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени спектр дисперсий , подчеркивают роль современных технологий в обеспечении масштабируемости и доступности. Надеюсь, что теперь ты понял что такое спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени спектр дисперсий и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени спектр дисперсий
создано: 2017-07-02
обновлено: 2021-03-13
132330



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Термины: Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ