Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

5.4. Плотность распределения кратко

Лекция



Привет, Вы узнаете о том , что такое плотность распределения, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое плотность распределения , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

Пусть имеется непрерывная случайная величина 5.4. Плотность распределения с функцией распределения 5.4. Плотность распределения, которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от 5.4. Плотность распределения до 5.4. Плотность распределения:

5.4. Плотность распределения,

т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать 5.4. Плотность распределения к нулю. В пределе получим производную от функции распределения:

5.4. Плотность распределения. (5.4.1)

Введем обозначение:

5.4. Плотность распределения. (5.4.2)

Функция 5.4. Плотность распределения - производная функции распределения – характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятности») непрерывной случайной величины 5.4. Плотность распределения.

Термины « плотность распределения », «плотность вероятности» становятся особенно наглядными при пользовании механической интерпретацией распределения; в этой интерпретации функция 5.4. Плотность распределения буквально характеризует плотность распределения масс по оси абсцисс (так называемую «линейную плотность»). Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис. 5.4.1).

5.4. Плотность распределения

Рис. 5.4.1.

Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только для непрерывных случайных величин.

Рассмотрим непрерывную случайную величину 5.4. Плотность распределения с плотностью распределения 5.4. Плотность распределения и элементарный участок 5.4. Плотность распределения, примыкающий к точке 5.4. Плотность распределения (рис. 5.4.2). Вероятность попадания случайной величины 5.4. Плотность распределения на этот элементарный участок (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна 5.4. Плотность распределения. Величина 5.4. Плотность распределения называется элементом вероятности. Геометрически это есть площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок 5.4. Плотность распределения (рис. 5.4.2).

5.4. Плотность распределения

Рис. 5.4.2.

Выразим вероятность попадания величины 5.4. Плотность распределения на отрезок от 5.4. Плотность распределения до 5.4. Плотность распределения (рис 5.4.3) через плотность распределения. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т.е. интегралу:

5.4. Плотность распределения (5.4.3)

*) Так как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю, то можно рассматривать здесь отрезок 5.4. Плотность распределения, не включая в него левый конец, т.е. отбрасывая знак равенства в 5.4. Плотность распределения.

Геометрически вероятность попадания величины 5.4. Плотность распределения на участок 5.4. Плотность распределения равна площади кривой распределения, опирающейся на этот участок (рис. 5.4.3.).

5.4. Плотность распределения

Рис. 5.4.3.

Формула (5.4.2.) выражает плотность распределения через функцию распределения. Зададимся обратной задачей: выразить функцию распределения через плотность. По определению

5.4. Плотность распределения,

откуда по формуле (5.4.3) имеем:

5.4. Плотность распределения. (5.4.4)

Геометрически 5.4. Плотность распределения есть не что иное, как площадь кривой распределения, лежащая левее точки 5.4. Плотность распределения (рис. 5.4.4).

5.4. Плотность распределения

Рис. 5.4.4.

Укажем основные свойства плотности распределения.

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция:

5.4. Плотность распределения.

Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения 5.4. Плотность распределения есть неубывающая функция.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

5.4. Плотность распределения.

Это следует из формулы (5.4.4) и из того, что 5.4. Плотность распределения.

Геометрически основные свойства плотности распределения означают, что:

1) вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

2) полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Выясним размерность основных характеристик случайной величины – функции распределения и плотности распределения. Функция распределения 5.4. Плотность распределения, как всякая вероятность, есть величина безразмерная. Размерность плотности распределения 5.4. Плотность распределения, как видно из формулы (5.4.1), обратна размерности случайной величины.

Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением

5.4. Плотность распределения

а) Найти коэффициент а.

б) Найти плотность распределения 5.4. Плотность распределения.

в) Найти вероятность попадания величины 5.4. Плотность распределения на участок от 0,25 до 0,5.

Решение. а) Так как функция распределения величины 5.4. Плотность распределения непрерывна, то при 5.4. Плотность распределения5.4. Плотность распределения, откуда 5.4. Плотность распределения.

б) Плотность распределения величины 5.4. Плотность распределения выражается формулой

5.4. Плотность распределения

в) По формуле (5.3.1) имеем:

5.4. Плотность распределения.

Пример 2. Случайная величина 5.4. Плотность распределения подчинена закону распределения с плотностью:

5.4. Плотность распределения при 5.4. Плотность распределения

5.4. Плотность распределения при 5.4. Плотность распределения или 5.4. Плотность распределения.

а) Найти коэффициент а.

б) Построить график плотности распределения 5.4. Плотность распределения.

в) Найти функцию распределения 5.4. Плотность распределения и построить ее график.

г) Найти вероятность попадания величины 5.4. Плотность распределения на участок от 0 до 5.4. Плотность распределения.

Решение. а) Для определения коэффициента а воспользуемся свойством плотности распределения:

5.4. Плотность распределения,

откуда 5.4. Плотность распределения.

б) График плотности 5.4. Плотность распределения представлен на рис. 5.4.5.

5.4. Плотность распределения

Рис. 5.4.5.

в) По формуле (5.4.4) получаем выражение функции распределения:

5.4. Плотность распределения

График функции 5.4. Плотность распределения изображен на рис. 5.4.6.

5.4. Плотность распределения

Рис. 5.4.6.

г) По формуле (5.3.1) имеем:

5.4. Плотность распределения.

Тот же результат, но несколько более сложным путем, можно получить по формуле (5.4.3).

Пример 3. Плотность распределения случайной величины 5.4. Плотность распределения задана формулой:

5.4. Плотность распределения.

а) Построить график плотности 5.4. Плотность распределения.

б) Найти вероятность того, что величина 5.4. Плотность распределенияпопадет на участок (-1, +1).

Решение. а) График плотности дан на рис. 5.4.7.

5.4. Плотность распределения

Рис. 5.4.7.

б) По формуле (5.4.3) имеем:

5.4. Плотность распределения.

Плотность нормального распределения

•Куполообразное, симметричное распределение

•Задается двумя параметрами: среднее (µ) и стандартное отклонение (σ). Параметры идеального распределения пишутся греческими буквами, как и параметры генеральной совокупности

5.4. Плотность распределения

5.4. Плотность распределения

5.4. Плотность распределения

Кривые плотности вероятности

•Описывают общую картину распределения. Площадь под кривой в некотором интервале отражает долю от всех наблюдений, попадающих в этот интервал

•Находится всегда выше горизонтальной оси или на ней

•Имеет площадь под ней, равную 1

5.4. Плотность распределения

Среднее и медиана в контексте кривых плотности вероятности

•Медиана делит площадь под кривой плотности вероятности на две равные части по 0.5

•Среднее является «точкой баланса» кривой. Стремится располагаться у более вытянутого хвоста

5.4. Плотность распределения

Информация, изложенная в данной статье про плотность распределения , подчеркивают роль современных технологий в обеспечении масштабируемости и доступности. Надеюсь, что теперь ты понял что такое плотность распределения и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про плотность распределения
создано: 2017-07-02
обновлено: 2021-03-13
132304



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Термины: Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ