Биномиальное распределение

Привет, сегодня поговорим про биномиальное распределение, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое биномиальное распределение , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

биномиальное распределение

Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение
Параметры	— число «испытаний»  — вероятность «успеха»
Носитель
Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана	одно из
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из  независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна .

Определение [править ]

Пусть  — конечная последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение Бернулли с параметром , то есть при каждом  величина принимает значения  («успех») и  («неудача») с вероятностями  и  соответственно. Тогда случайная величина

имеет биномиальное распределение с параметрами  и . Это записывается в виде:

.

Случайную величину  обычно интерпретируют как число успехов в серии из  одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха  в каждом испытании.

Функция вероятности задается формулой:

где

 — биномиальный коэффициент.

Функция распределения[править ]

Функция распределения  биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

,

где  обозначает наибольшее целое , не превосходящее число , или в виде неполной бета-функции:

.

Моменты[править ]

Производящая функция моментов  биномиального распределения имеет вид:

,

откуда

,

,

а дисперсия случайной величины.

.

Свойства биномиального распределения[править ]

• Пусть  и . Тогда .
• Пусть  и . Тогда .

Связь с другими распределениями[править ]

• Если , то, очевидно, получаем распределение Бернулли.
• Если  большое, то в силу центральной предельной теоремы , где  —  нормальное распределение  с математическим ожиданием  и дисперсией .
• Если  большое, а  — фиксированное число , то , где  — распределение Пуассона  с параметром .
• Если случайные величины   и  имеют биномиальные распределения  и  соответственно, то условное распределение случайной величины  при условии  – гипергеометрическое .

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря![править ]

Надеюсь, эта статья про биномиальное распределение, была вам полезна, счастья и удачи в ваших начинаниях! Надеюсь, что теперь ты понял что такое биномиальное распределение и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ