Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых кратко

Лекция



Привет, Вы узнаете о том , что такое центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

Различные формы центральной предельной теоремы отличаются между собой условиями, накладываемыми на распределения образующих сумму случайных слагаемых. Здесь мы сформулируем и докажем одну из самых простых форм центральной предельной теоремы, относящуюся к случаю одинаково распределенных слагаемых.

 

Теорема. Если 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых - независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых и дисперсией 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, то при неограниченном увеличении 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых закон распределения суммы

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых                            (13.8.1)

неограниченно приближается к нормальному.

Доказательство.

Проведем доказательство для случая непрерывных случайных величин 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых (для прерывных оно будет аналогичным).

Согласно второму свойству характеристических функций, доказанному в предыдущем 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, характеристическая функция величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых представляет собой произведение характеристических функций слагаемых. Случайные величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых имеют один и тот же закон распределения с плотностью 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых и, следовательно, одну и ту же характеристическую функцию

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.                       (13.8.2)

Следовательно, характеристическая функция случайной величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых будет

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.                              (13.8.3)

Исследуем более подробно функцию 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Представим ее в окрестности точки 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых по формуле Маклорена с тремя членами:

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых,                          (13.8.4)

где 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых при 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.

Найдем величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Полагая в формуле (13.8.2) 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых имеем:

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.                                  (13.8.5)

Продифференцируем (13.8.2) по 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых:

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.               (13.8.6)

Полагая в (13.8.6) 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, получим:

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.              (13.8.7)

Очевидно, не ограничивая общности, можно положить 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых (для этого достаточно перенести начало отсчета в точку 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых). Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Тогда

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.

Продифференцируем (13.8.6) еще раз:

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых,

отсюда

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.                     (13.8.8)

При 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых интеграл в выражении (13.8.8) есть не что иное, как дисперсия величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых с плотностью 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, следовательно

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.             (13.8.9)

Подставляя в (13.8.4) 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых и 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, получим:

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.                 (13.8.10)

Обратимся к случайной величине 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Мы хотим доказать, что ее закон распределения при увеличении 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых приближается к нормальному. Для этого перейдем от величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых к другой («нормированной») случайной величине

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.                (13.8.11)

Эта величина удобна тем, что ее дисперсия не зависит от 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых и равна единице при любом 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. В этом нетрудно убедиться, рассматривая величину 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых как линейную функцию независимых случайных величин 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, каждая из которых имеет дисперсию 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Если мы докажем, что закон распределения величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых приближается к нормальному, то, очевидно, это будет справедливо и для величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, связанной с 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых линейной зависимостью (13.8.11).

Вместо того чтобы доказывать, что закон распределения величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых при увеличении 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых приближается к нормальному, покажем, что ее характеристическая функция приближается к характеристической функции нормального закона.

Найдем характеристическую функцию величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Из соотношения (13.8.11), согласно первому свойству характеристических функций (13.7.8), получим

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых,                        (13.8.12)

где 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых - характеристическая функция случайной величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.

Из формул (13.8.12) и (13.8.3) получим

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых                                 (13.8.13)

или, пользуясь формулой (13.8.10),

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.                    (13.8.14)

Прологарифмируем выражение (13.8.14):

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.

Введем обозначение

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.              (13.8.15)

Тогда

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.                                   (13.8.16)

Будем неограниченно увеличивать 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. При этом величина 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, согласно формуле (13.8.15), стремится к нулю. При значительном 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых ее можно считать весьма малой. Разложим, 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых в ряд и ограничимся одним членом разложения (остальные при 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых станут пренебрежимо малыми):

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.

Тогда получим

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.

По определению функция 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых стремится к нулю при 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых; следовательно,

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых

и

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых,

откуда

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.                 (13.8.17)

Это есть не что иное, как характеристическая функция нормального закона с параметрами 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых (см. пример 2, 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых 13.7).

Таким образом, доказано, что при увеличении 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых характеристическая функция случайной величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых неограниченно приближается к характеристической функции нормального закона; отсюда заключаем что и закон распределения величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых (а значит и величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых) неограниченно приближается к нормальному закону. Теорема доказана.

Мы доказали центральную предельную теорему для частного, но важного случая одинаково распределенных слагаемых. Однако в достаточно широком классе условий она справедлива и для неодинаково распределенных слагаемых. Например, А. М. Ляпунов доказал центральную предельную теорему для следующих условий:

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых,                        (13.8.18)

где 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых - третий абсолютный центральный момент величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых:

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых       13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых - дисперсия величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.

Наиболее общим (необходимым и достаточным) условием справедливости центральной предельной теоремы является условие Линдеберга: при любом 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых

13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых,

где 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых - математическое ожидание, 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых - плотность распределения случайной величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.

 

 

Информация, изложенная в данной статье про центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых , подчеркивают роль современных технологий в обеспечении масштабируемости и доступности. Надеюсь, что теперь ты понял что такое центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых
создано: 2017-07-02
обновлено: 2021-03-13
132338



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Термины: Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ