Дисперсия случайной величины

Привет, сегодня поговорим про дисперсия случайной величины, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое дисперсия случайной величины , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть ее отклонения от математического ожидания. Обозначается  в русской литературе и  (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение  или .

Квадратный корень из дисперсии, равный , называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышева следует, что вероятность того, что случайная величина отстоит от своего математического ожидания более чем на k стандартных отклонений, составляет менее 1/k². Так, например, как минимум в 95 % случаев случайная величина, имеющая нормальное распределение, удалена от ее среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три.

Определение [править ]

Пусть  — случайная величина, определенная на некотором вероятностном пространстве. Тогда дисперсией называется

где символ  обозначает математическое ожидание^[1][2].

Замечания [править ]

• Если случайная величина  вещественна, то, в силу линейности математического ожидания, справедлива формула:

  

• Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
• Дисперсия может быть бесконечной.
• Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов :

  

• Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.
• Удобная формула для вычисления дисперсии случайной последовательности :

  

Однако, так как оценка дисперсии является смещенной, то для ее подсчета необходимо дополнительно умножать на . Таким образом, итоговая формула будет выглядеть:

Свойства[править ]

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: 
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и ее математическое ожидание;
• Если случайная величина равна константе, то ее дисперсия равна нулю:  Верно и обратное: если  то  почти всюду;
• Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

  , где  — их ковариация;

• Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

  , где ;

• В частности,  для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;
• 
• 
• 

Пример[править ]

Пусть случайная величина   имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на  то есть ее  плотность вероятности  задана равенством

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины

и математическое ожидание случайной величины

Тогда дисперсия случайной величины

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря![править ]

• Среднеквадратическое отклонение
• Моменты случайной величины
• Ковариация
• Выборочная дисперсия
• Независимость (теория вероятностей)
• Скедастичность
• Абсолютное отклонение

Примечания[править ]

Литература[править ]

• Гурский Д., Турбина Е. Mathcad для студентов и школьников. Популярный самоучитель. — СПб.: Питер, 2005. — С. 340. — ISBN 5469005259.
• Орлов А. И.  Дисперсия случайной величины // Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты. — М.: МЗ-Пресс, 2004.

На этом все! Теперь вы знаете все про дисперсия случайной величины, Помните, что это теперь будет проще использовать на практике. Надеюсь, что теперь ты понял что такое дисперсия случайной величины и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ