Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

Лекция



Привет, Вы узнаете о том , что такое понятие о стационарном случайном процессе, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое понятие о стационарном случайном процессе , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

На практике очень часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не обнаруживают существенных изменений с течением времени. Такие случайные процессы называются стационарными.

 

В качестве примеров стационарных случайных процессов можно привести: 1) колебания самолета на установившемся режиме горизонтального полета; 2) колебания напряжения в электрической осветительной сети; 3) случайные шумы в радиоприемнике; 4) процесс качки корабля и т. п.

Каждый стационарный процесс можно рассматривать как продолжающийся во времени неопределенно долго; при исследовании стационарного процесса в качестве начала отсчета можно выбрать любой момент времени. Исследуя стационарный процесс на любом участке времени, мы должны получить одни и те же его характеристики. Образно выражаясь, стационарный процесс «не имеет ни начала, ни конца».

Примером стационарного случайного процесса может служить изменение высоты центра тяжести самолета на установившемся режиме горизонтального полета (рис. 17.1.1).

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

Рис. 17.1.1.

В противоположность стационарным случайным процессам можно указать другие, явно нестационарные, случайные процессы, например: колебания самолета в режиме пикирования; процесс затухающих колебаний в электрической цепи; процесс горения порохового заряда в реактивной камере и т. д. Нестационарный процесс характерен тем, что он имеет определенную тенденцию развития во времени; характеристики такого процесса зависят от начала отсчета, зависят от времени.

На рис. 17.1.2 изображено семейство реализаций явно нестационарного случайного процесса - процесса изменения тяги двигателя реактивного снаряда во времени.

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

Рис. 17.1.2.

Заметим, что далеко не все нестационарные случайные процессы являются существенно нестационарными на всем протяжении своего развития. Существуют нестационарные процессы, которые (на известных отрезках времени и с известным приближением) могут быть приняты за стационарные.

Например, процесс наводки перекрестия авиационного прицела на цель есть явно нестационарный процесс, если цель за короткое время с большой и резко меняющейся угловой скоростью проходит поле зрения прицела. В этом случае колебания оси прицела относительно цели не успевают установиться в некотором стабильном режиме; процесс начинается и заканчивается, не успев приобрести стационарный характер. Напротив, процесс наводки перекрестия прицела па неподвижную или движущуюся с постоянной угловой скоростью цель через некоторое время после начала слежения приобретает стационарный характер.

Вообще, как правило, случайный процесс в любой динамической системе начинается с нестационарной стадии - с так называемого «переходного процесса». После затухания переходного процесса система обычно переходит на установившийся режим, и тогда случайные процессы, протекающие в ней, могут считаться стационарными.

Стационарные случайные процессы очень часто встречаются в физических и технических задачах. По своей природе эти процессы проще, чем нестационарные, и описываются более простыми характеристиками. Линейные преобразования стационарных случайных процессов также обычно осуществляются проще, чем нестационарных. В связи с этим на практике получила широкое применение специальная теория стационарных случайных процессов, или, точнее, теория стационарных случайных функций (так как аргументом стационарной случайной функции в общем случае может быть и не время). Элементы этой теории и будут изложены в данной главе.

Случайная функция 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе называется стационарной, если все ее вероятностные характеристики не зависят от 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе (точнее, не меняются при любом сдвиге аргументов, от которых они зависят, по оси 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе).

В данном элементарном изложении теории случайных функций мы совсем не пользуемся такими вероятностными характеристиками, как законы распределения: единственными характеристиками, которыми мы пользуемся, являются математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция. Сформулируем определение стационарной случайной функции в терминах этих характеристик.

Так как изменение стационарной случайной функции должно протекать однородно по времени, то естественно потребовать, чтобы для стационарной случайной функции математическое ожидание было постоянным:

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе.              (17.1.1)

Заметим, однако, что это требование не является существенным: мы знаем, что от случайной функции 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе всегда можно перейти к центрированной случайной функции 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе, для которой математическое ожидание тождественно равно нулю и, следовательно, удовлетворяет условию (17.1.1). Таким образом, если случайный процесс нестационарен только за счет переменного математического ожидания, это не мешает нам изучать его как стационарный процесс.

Второе условие, которому, очевидно, должна удовлетворять стационарная случайная функция, - это условие постоянства дисперсии:

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе.              (17.1.2)

Установим, какому условию должна удовлетворять корреляционная функция стационарной случайной функции. Рассмотрим случайную функцию 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе (рис. 17.1.3).

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

Рис. 17.1.3.

Положим в выражении 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе и рассмотрим 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе - корреляционный момент двух сечений случайной функции, разделенных интервалом времени 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе. Очевидно, если случайный процесс 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе действительно стационарен, то этот корреляционный момент не должен зависеть от того, где именно на оси 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе мы взяли участок 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе, а должен зависеть только от длины этого участка. Например, для участков 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе и 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе на рис. 17.1.3, имеющих одну и ту же длину 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе, значения корреляционной функции 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе и 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе должны быть одинаковыми. Вообще, корреляционная функция стационарного случайного процесса должна зависеть не от положения 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе первого аргумента на оси абсцисс, а только от промежутка 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе между первым и вторым аргументами:

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе.               (17.1.3)

Следовательно, корреляционная функция стационарного случайного процесса есть функция не двух, а всего одного аргумента. Это обстоятельство в ряде случаев сильно упрощает операции над стационарными случайными функциями.

Заметим, что условие (17.1.2), требующее от стационарной случайной функции постоянства дисперсии, является частным случаем условия (17.1.3). Действительно, полагая в формуле (17.1.3) 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе имеем

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе.                  (17.1.4)

Таким образом, условие (17.1.3) есть единственное существенное условие, которому должна удовлетворять стационарная случайная функция.

Поэтому в дальнейшем мы под стационарной случайной функцией будем понимать такую случайную функцию, корреляционная функция которой зависит не от обоих своих аргументов 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе и 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе, а только от разности 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе между ними. Чтобы не накладывать специальных условий на математическое ожидание, мы будем рассматривать только центрированные случайные функции.

Мы знаем, что корреляционная функция любой случайной функции обладает свойством симметрии:

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе.

Отсюда для стационарного процесса, полагая 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе, имеем:

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе,                     (17.1.5)

т. е. корреляционная функция 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе есть четная функция своего аргумента. Поэтому обычно корреляционную функцию определяют только для положительных значений аргумента (рис. 17.1.4).

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

Рис. 17.1.4.

На практике, вместо корреляционной функции 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе, часто пользуются нормированной корреляционной функцией

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе,                      (17.1.6)

где 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе - постоянная дисперсия стационарного процесса. Функция 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе есть не что иное, как коэффициент корреляции между сечениями случайной функции, разделенными интервалом 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе по времени. Очевидно, что 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе.

В качестве примеров рассмотрим два образца приблизительно стационарных случайных процессов и построим их характеристики.

Пример 1. Случайная функция 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе задана совокупностью 12 реализаций (рис. 17.1.5).

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

Рис. 17.1.5

а) Найти ее характеристики 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе17.1. Понятие о стационарном случайном процессе17.1. Понятие о стационарном случайном процессе и нормированную корреляционную функцию 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . б) Приближенно рассматривая случайную функцию 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе как стационарную, найти ее характеристики.

Решение. Так как случайная функция 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе меняется сравнительно плавно, можно брать сечения не очень часто, например через 0,4 сек. Тогда случайная функция будет сведена к системе семи случайных величин, отвечающих сечениям 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе. Намечая эти сечения на графике и снимая с графика значения случайной функции в этих сечениях, получим таблицу (табл. 17.1.1).

Таблица 17.1.1

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

№ реализации

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

1

0,64

0,74

0,62

0,59

0,35

-0,09

0,39

2

0,54

0,37

0,06

-0,32

-0,60

-0,69

-0,67

3

0,34

0,50

0,37

0,26

-0,52

-0,72

0,42

4

0,23

0,26

0,35

0,55

0,69

0,75

0,80

5

0,12

0,20

0,24

0,18

-0,20

-0,42

-0,46

6

-0,16

-0,12

-0,15

0,05

0,29

0,43

0,63

7

-0,22

-0,29

-0,38

-0,24

-0,06

0,07

-0,16

8

-0,26

-0,69

-0,70

-0,61

-0,43

-0,22

0,29

9

-0,50

-0,60

-0,68

-0,62

-0,68

-0,56

-0,54

10

-0,30

0,13

0,75

0,84

0,78

0,73

0,71

11

-0,69

-0,40

0,08

0,16

0,12

0,18

0,33

12

0,18

-0,79

-0,56

-0,39

-0,42

-0,58

-0,53

Таблицу рекомендуется заполнять по строчкам, передвигаясь все время вдоль одной реализации.

Далее находим оценки для характеристик случайных величин 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе. Суммируя значения по столбцам и деля сумму на число реализаций 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе, найдем приближенно зависимость математического ожидания от времени:

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

-0,007

-0,057

0,000

0,037

-0,057

-0,093

0,036

На графике рис. 17.1.5 математическое ожидание показано жирной линией.

Далее находим оценки для элементов корреляционной матрицы: дисперсий и корреляционных моментов. Вычисления удобнее всего производить по следующей схеме. Для вычисления статистической дисперсии суммируются квадраты чисел, стоящих в соответствующем столбце; сумма делится на 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе; из результата вычитается квадрат соответствующего математического ожидания. Для получения несмещенной оценки результат множится на поправку 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе. Аналогично оцениваются корреляционные моменты. Для вычисления статистического момента, отвечающего двум заданным сечениям, перемножаются числа, стоящие в соответствующих столбцах; произведении складываются алгебраически; полученная сумма делится на 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе; из результата вычитается произведение соответствующих математических ожиданий; для получения несмещенной оценки корреляционного момента результат множится на 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе. При выполнении расчетов на счетной машине или арифмометре промежуточные результаты умножений не записываются, а непосредственно суммируются. Полученная таким способом корреляционно матрица системы случайных величин 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе - она же таблица значений корреляционной функции 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе - приведена в таблице 17.1.2.

Таблица 17.1.2.

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

0

0,1632

0,1379

0,0795

0,0457

-0,0106

-0,0642

-0,0648

0,4

 

0,2385

0,2029

0,1621

0,0827

0,0229

0,0251

0,8

 

 

0,2356

0,2152

0,1527

0,0982

0,0896

1,2

 

 

 

0,2207

0,1910

0,1491

0,1322

1,6

 

 

 

 

0,2407

0,2348

0,1711

2,0

 

 

 

 

 

0,2691

0,2114

2,4

 

 

 

 

 

 

0,2878

По главной диагонали таблицы стоят оценки дисперсий:

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

0,1632

0,2385

0,2356

0,2207

0,2407

0,2691

0,278

Извлекая из этих величин квадратные корни, найдем зависимость среднего квадратического отклонения 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе от времени:

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

0,404

0,488

0,485

0,470

0,491

0,519

0,536

Деля значения, стоящие в табл. 17.1.2, на произведения соответствующих средних квадратических отклонений, получим таблицу значений нормированной корреляционной функции 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе (табл. 17.1.3).

Таблица 17.1.3

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

0

1

0,700

0,405

0,241

-0,053

-0,306

-0,299

0,4

 

1

0,856

0,707

0,345

0,090

0,095

0,8

 

 

1

0,943

0,643

0,390

0,344

1,2

 

 

 

1

0,829

0,612

0,524

1,6

 

 

 

 

1

0,923

0,650

2,0

 

 

 

 

 

1

0,760

2,4

 

 

 

 

 

 

1

Проанализируем полученные данные под углом зрения предполагаемой стационарности случайной функции 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе. Если судить непосредственно по данным, полученным в результате обработки, то можно прийти к выводу, что случайная функция 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе стационарной не является: ее математическое ожидание не вполне постоянно; дисперсия также несколько меняется со временем; значения нормированной корреляционной функции вдоль параллелей главной диагонали также не вполне постоянны. Однако, принимая во внимание весьма ограниченное число обработанных реализаций (17.1. Понятие о стационарном случайном процессе) и в связи с этим наличие большого элемента случайности в полученных оценках, эти видимые отступления от стационарности вряд ли можно считать значимыми, тем более, что они не носят сколько-нибудь закономерного характера. Поэтому вполне целесообразной будет приближенная замена функции 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе стационарной. Для приведения функции к стационарной прежде всего осредним по времени оценки для математического ожидания:

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе.

Аналогичным образом осредним оценки для дисперсии:

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе.

Извлекая корень, найдем осредненную оценку с. к. о.:

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе.

Перейдем к построению нормированной корреляционной функции того стационарного процесса, которым можно заменить случайную функцию 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе. Для стационарного процесса корреляционная функция (а значит, и нормированная корреляционная функция) зависит только от 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе; следовательно, при постоянном 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе корреляционная функция должна быть постоянной. В таблице 17.1.3 постоянному 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе соответствуют: главная диагональ (17.1. Понятие о стационарном случайном процессе) и параллели этой диагонали (17.1. Понятие о стационарном случайном процессе17.1. Понятие о стационарном случайном процессе17.1. Понятие о стационарном случайном процессе и т. д.). Осредняя оценки нормированной корреляционной функции вдоль этих параллелей главной диагонали, получим значения функции 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе:

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

1,00

0,84

0,60

0,38

0,13

-0,10

-0,30

График функции 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе представлен на рис. 17.1.6.

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

Рис. 17.1.6.

При рассмотрении рис. 17.1.6 обращает на себя внимание наличие для некоторых 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе отрицательных значений корреляционной функции. Это указывает на то, что в структуре случайной функции имеется некоторый элемент периодичности, в связи с чем на расстоянии по времени, равном примерно половине периода основных колебаний, наблюдается отрицательная корреляция между значениями случайной функции: положительным отклонениям от среднего в одном сечении соответствуют отрицательные отклонения через определенный промежуток времени, и наоборот.

Такой характер корреляционной функции, с переходом на отрицательные значения, очень часто встречается на практике. Обычно в таких случаях по мере увеличения 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе амплитуда колебаний корреляционной функции уменьшается и при дальнейшем увеличении 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе корреляционная функция стремится к нулю.

Пример 2. Случайная функция 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе задана совокупностью 12 своих реализаций (рис. 17.1.7). Приближенно заменив функцию 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе стационарной, сравнить ее нормированную корреляционную функцию с функцией 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе предыдущего примера.

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

Рис. 17.1.7.

Решение. Так как случайная функция 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе отличается значительно менее плавным ходом по сравнению с функцией 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе предыдущего примера, промежуток между сечениями уже нельзя брать равным 0,4 сек, как в предыдущем примере, а следует взять по крайней мере вдвое меньше (например, 0,2 сек, как на рис. 17.1.7). В результате обработки получаем оценку для нормированной корреляционной функции 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе:

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

1,00

0,73

0,41

0,22

-0,01

-0,20

-0,19

-0,10

-0,06

-0,15

0,08

0,19

0,05

График функции 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе представлен на рис. 17.1.8.

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

Рис. 17.1.8.

Из сравнения графиков рис. 17.1.8 и 17.1.6 видно, что корреляционная функция, изображенная

на рис. 17.1.8, убывает значительно быстрее. Это и естественно, так как характер изменения функции 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе в примере 1 гораздо более плавный и постепенный, чем в примере 2; в связи с этим корреляция между значениями случайной функции в примере 1 убывает медленнее.

При рассмотрении рис. 17.1.8 бросаются в глаза незакономерные колебания функции 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе для больших значений 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе. Так как при больших значениях 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе точки графика получены осреднением сравнительно очень небольшого числа данных, их нельзя считать надежными. В подобных случаях имеет смысл сгладить корреляционную функцию, как, например, показано пунктиром на рис. 17.1.8.

 

 

Информация, изложенная в данной статье про понятие о стационарном случайном процессе , подчеркивают роль современных технологий в обеспечении масштабируемости и доступности. Надеюсь, что теперь ты понял что такое понятие о стационарном случайном процессе и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

создано: 2017-07-02
обновлено: 2021-03-13
132300



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Термины: Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ