Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки

Привет, сегодня поговорим про доверительный интервал для ма тического ожидания нормальной выборки, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое доверительный интервал для ма тического ожидания нормальной выборки , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

Случай известной дисперсии[править ]

Пусть  — независимая выборка из нормального распределения, где  — известная дисперсия. Определим произвольное  и построим доверительный интервал для неизвестного среднего .

Утверждение. Случайная величина

имеет стандартное нормальное распределение . Пусть  — -квантиль стандартного нормального распределения. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Тогда в силу симметрии последнего имеем:

.

После подстановки выражения для  и несложных алгебраических преобразований получаем:

.

Случай неизвестной дисперсии[править ]

Пусть  — независимая выборка из нормального распределения, где  — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестного среднего .

Утверждение. Случайная величина

,

где  — несмещенное выборочное стандартное отклонение, имеет распределение Стьюдента с  степенями свободы . Пусть  — -квантили распределения Стьюдента. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

.

После подстановки выражения для  и несложных алгебраических преобразований получаем:

.

На этом все! Теперь вы знаете все про доверительный интервал для ма тического ожидания нормальной выборки, Помните, что это теперь будет проще использовать на практике. Надеюсь, что теперь ты понял что такое доверительный интервал для ма тического ожидания нормальной выборки и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ