Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

8.5 Зависимые и независимые случайные величины кратко

Лекция



Привет, Вы узнаете о том , что такое зависимые, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое зависимые, независимые случайные величины , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

При изучении систем случайных величин всегда следует обращать внимание на степень и характер их зависимости. Эта зависимость может быть более или менее ярко выраженной, более или менее тесной. В некоторых случаях зависимость между случайными величинами может быть настолько тесной, что, зная значение одной случайной величины, можно в точности указать значение другой. В другом крайнем случае зависимость между случайными величинами является настолько слабой и отдаленной, что их можно практически считать независимыми.

 

Понятие о независимых случайных величинах – одно их важных понятий теории вероятностей.

Случайная величина 8.5 Зависимые и независимые случайные величины называется независимой от случайной величины 8.5 Зависимые и независимые случайные величины, если закон распределения величины 8.5 Зависимые и независимые случайные величины не зависит от того, какое значение приняла величина 8.5 Зависимые и независимые случайные величины.

Для непрерывных случайных величин условие независимости 8.5 Зависимые и независимые случайные величины от 8.5 Зависимые и независимые случайные величины может быть записано в виде:

8.5 Зависимые и независимые случайные величины

при любом 8.5 Зависимые и независимые случайные величины.

Напротив, в случае, если 8.5 Зависимые и независимые случайные величины зависит от 8.5 Зависимые и независимые случайные величины, то

8.5 Зависимые и независимые случайные величины.

Докажем, что зависимость или независимость случайных величин всегда взаимны: если величина 8.5 Зависимые и независимые случайные величины не зависит от 8.5 Зависимые и независимые случайные величины.

Действительно, пусть 8.5 Зависимые и независимые случайные величины не зависит от 8.5 Зависимые и независимые случайные величины:

8.5 Зависимые и независимые случайные величины.                                                            (8.5.1)

Из формул (8.4.4) и (8.4.5) имеем:

8.5 Зависимые и независимые случайные величины,

откуда, принимая во внимание (8.5.1), получим:

8.5 Зависимые и независимые случайные величины

что и требовалось доказать.

Так как зависимость и независимость случайных величин всегда взаимны, можно дать новое определение независимых случайных величин.

Случайные величины 8.5 Зависимые и независимые случайные величины и 8.5 Зависимые и независимые случайные величины называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины 8.5 Зависимые и независимые случайные величины и 8.5 Зависимые и независимые случайные величины называются зависимыми.

Для независимых непрерывных случайных величин теорема умножения законов распределения принимает вид:

8.5 Зависимые и независимые случайные величины,                                                              (8.5.2)

т. е. плотность распределения системы независимых случайных величин равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему.

Условие (8.5.2) может рассматриваться как необходимое и достаточное условие независимости случайных величин.

Часто по самому виду функции 8.5 Зависимые и независимые случайные величины можно заключить, что случайные величины 8.5 Зависимые и независимые случайные величины8.5 Зависимые и независимые случайные величины являются независимыми, а именно, если плотность распределения 8.5 Зависимые и независимые случайные величины распадается на произведение двух функций, из которых одна зависит только от 8.5 Зависимые и независимые случайные величины, другая - только от 8.5 Зависимые и независимые случайные величины, то случайные величины независимы.

Пример. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Плотность распределения системы 8.5 Зависимые и независимые случайные величины имеет вид:

8.5 Зависимые и независимые случайные величины.

Определить, зависимы или независимы случайные величины 8.5 Зависимые и независимые случайные величиныи 8.5 Зависимые и независимые случайные величины.

Решение. Разлагая знаменатель на множители, имеем:

8.5 Зависимые и независимые случайные величины.

Из того, что функция 8.5 Зависимые и независимые случайные величины распалась на произведение двух функций, из которых одна зависима только от 8.5 Зависимые и независимые случайные величины, а другая  - только от 8.5 Зависимые и независимые случайные величины, заключаем, что величины 8.5 Зависимые и независимые случайные величины и 8.5 Зависимые и независимые случайные величины должны быть независимы. Действительно, применяя формулы (8.4.2) и (8.4.3), имеем:

8.5 Зависимые и независимые случайные величины;

аналогично

8.5 Зависимые и независимые случайные величины,

откуда убеждаемся, что

8.5 Зависимые и независимые случайные величины

и, следовательно, величины 8.5 Зависимые и независимые случайные величины и 8.5 Зависимые и независимые случайные величины независимы.

Вышеизложенный критерий суждения о зависимости или независимости случайных величин исходит из предположения, что закон распределения системы нам известен. На практике чаще бывает наоборот: закон распределения системы 8.5 Зависимые и независимые случайные величины не известен; известны только законы распределения отдельных величин, входящих в систему, и имеются основания считать, что величины 8.5 Зависимые и независимые случайные величины и 8.5 Зависимые и независимые случайные величины независимы. Тогда можно написать плотность распределения системы как произведение плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему.

Остановимся несколько подробнее на важных понятиях о «зависимости» и «независимости» случайных величин.

Понятие «независимости» случайных величин, которым мы пользуемся в теории вероятностей, несколько отличается от обычного понятия «зависимости» величин, которым мы оперируем в математике. Действительно, обычно под «зависимостью» величин подразумевают только один тип зависимости - полную, жесткую, так называемую - функциональную зависимость. Две величины 8.5 Зависимые и независимые случайные величины и 8.5 Зависимые и независимые случайные величины называются функционально зависимыми, если, зная значение одной из них, можно точно указать значение другой.

В теории вероятностей мы встречаемся с другим, более общим, типом зависимости — с вероятностной или «стохастической» зависимостью. Если величина 8.5 Зависимые и независимые случайные величины связана с величиной 8.5 Зависимые и независимые случайные величины вероятностной зависимостью, то, зная значение 8.5 Зависимые и независимые случайные величины, нельзя указать точно значение 8.5 Зависимые и независимые случайные величины, а можно указать только ее закон распределения, зависящий от того, какое значение приняла величина 8.5 Зависимые и независимые случайные величины.

Вероятностная зависимость может быть более или менее тесной; по мере увеличения тесноты вероятностной зависимости она все более приближается к функциональной. Таким образом, функциональную зависимость можно рассматривать как крайний, предельный случай наиболее тесной вероятностной зависимости. Другой крайний случай - полная независимость случайных величин. Между этими двумя крайними случаями лежат все градации вероятностной зависимости - от самой сильной до самой слабой. Те физические величины, которые на практике мы считаем функционально зависимыми, в действительности связаны весьма тесной вероятностной зависимостью: при заданном значении одной из этих величин другая колеблется в столь узких пределах, что ее практически можно считать вполне определенной. С другой стороны, те величины, которые мы на практике считаем независимыми, и действительности часто находятся в некоторой взаимной зависимости, но эта зависимость настолько слаба, что ею для практических целей можно пренебречь.

Вероятностная зависимость между случайными величинами очень часто встречается на практике. Если случайные величины 8.5 Зависимые и независимые случайные величины и 8.5 Зависимые и независимые случайные величины находятся в вероятностной зависимости, это не означает, что с изменением величины 8.5 Зависимые и независимые случайные величины величина 8.5 Зависимые и независимые случайные величины изменяется вполне определенным образом; это лишь означает, что с изменением величины 8.5 Зависимые и независимые случайные величины величина 8.5 Зависимые и независимые случайные величины имеет тенденцию также изменяться (например, возрастать или убывать при возрастании 8.5 Зависимые и независимые случайные величины). Эта тенденция соблюдается лишь «в среднем», в общих чертах, и в каждом отдельном случае от нее возможны отступлении.

Рассмотрим, например, две такие случайные величины: 8.5 Зависимые и независимые случайные величины - рост наугад взятого человека, 8.5 Зависимые и независимые случайные величины - его вес. Очевидно, величины 8.5 Зависимые и независимые случайные величины и 8.5 Зависимые и независимые случайные величины находятся в определенной вероятностной зависимости; она выражается в том, что в общем люди с большим ростом имеют больший вес. Можно даже составить эмпирическую формулу, приближенно заменяющую эту вероятностную зависимость функциональной. Такова, например, общеизвестная формула, приближенно выражающая зависимость между ростом и весом:

8.5 Зависимые и независимые случайные величины.

Формулы подобного типа, очевидно, не являются точными и выражают лишь некоторую среднюю, массовую закономерность, тенденцию, от которой в каждом отдельном случае возможны отступления.

В вышеприведенном примере мы имели дело со случаем явно выраженной зависимости. Рассмотрим теперь такие две случайные величины: 8.5 Зависимые и независимые случайные величины - рост наугад взятого человека; 8.5 Зависимые и независимые случайные величины - его возраст. Очевидно, для взрослого человека величины 8.5 Зависимые и независимые случайные величины и 8.5 Зависимые и независимые случайные величины можно считать практически независимыми; напротив, для ребенка величины 8.5 Зависимые и независимые случайные величины и 8.5 Зависимые и независимые случайные величины являются зависимыми.

Приведем еще несколько примеров случайных величин, находящихся в различных степенях зависимости.

1. Из камней, составляющих кучу щебня, выбирается наугад один камень. Случайная величина 8.5 Зависимые и независимые случайные величины - вес камня; случайная величина 8.5 Зависимые и независимые случайные величины - наибольшая длина камня. Величины 8.5 Зависимые и независимые случайные величины и 8.5 Зависимые и независимые случайные величины находятся в явно выраженной вероятностной зависимости.

2. Производится стрельба ракетой в заданный район океана. Величина 8.5 Зависимые и независимые случайные величины - продольная ошибка точки попадания (недолет, перелет); случайная величина 8.5 Зависимые и независимые случайные величины - ошибка в скорости ракеты в конце активного участка движения. Величины 8.5 Зависимые и независимые случайные величины и 8.5 Зависимые и независимые случайные величины явно зависимы, так как ошибка 8.5 Зависимые и независимые случайные величины является одной из главных причин, порождающих продольную ошибку 8.5 Зависимые и независимые случайные величины.

3. Летательный аппарат, находясь в полете, измеряет высоту над поверхностью Земли с помощью барометрического прибора. Рассматриваются две случайные величины: 8.5 Зависимые и независимые случайные величины - ошибка измерения высоты и 8.5 Зависимые и независимые случайные величины - вес топлива, сохранившегося в топливных баках к моменту измерения. Величины 8.5 Зависимые и независимые случайные величиныи 8.5 Зависимые и независимые случайные величины практически можно считать независимыми.

В следующем 8.5 Зависимые и независимые случайные величины мы познакомимся с некоторыми числовыми характеристиками системы случайных величин, которые дадут нам возможность оценивать степень зависимости этих величин.

 

Информация, изложенная в данной статье про зависимые , подчеркивают роль современных технологий в обеспечении масштабируемости и доступности. Надеюсь, что теперь ты понял что такое зависимые, независимые случайные величины и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про зависимые
создано: 2017-07-02
обновлено: 2021-03-13
132327



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Термины: Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ