Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

Лекция



Привет, Вы узнаете о том , что такое сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

К вопросам, связанным с обработкой опытов, разобранным в данной главе, близко примыкает вопрос о сглаживании экспериментальных зависимостей.

 

Пусть производится опыт, целью которого является, исследование зависимости некоторой физической величины 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов от физической величины 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (например, зависимости пути, пройденного телом, от времени; начальной скорости снаряда от температуры заряда; подъемной силы от угла атаки и т. д.). Предполагается, что величины 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов и 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов связаны функциональной зависимостью:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.                   (14.8.1)

Вид этой зависимости и требуется определить из опыта.

Предположим, что в результате опыта мы получили ряд экспериментальных точек и построили график зависимости 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов от 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (рис. 14.8.1). Обычно экспериментальные точки на таком графике располагаются не совсем правильным образом - дают некоторый «разброс», т. е. обнаруживают случайные отклонения от видимой общей закономерности.

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

Рис. 14.8.1.

Эти уклонения связаны с неизбежными при всяком опыте ошибками измерения.

Возникает вопрос, как по этим экспериментальным данным наилучшим образом воспроизвести зависимость 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов от 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов?

Известно, что через любые 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов точек с координатами 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов всегда можно провести кривую, выражаемую аналитически полиномом степени 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, так, чтобы она в точности прошла через каждую из точек (рис. 14.8.2).

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

Рис. 14.8.2.

Однако такое решение вопроса обычно не является удовлетворительным: как правило, нерегулярное поведение экспериментальных точек, подобное изображенному на рис. 14.8.1 и 14.8.2, связано не с объективным характером зависимости 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов от 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, а исключительно с ошибками измерения. Это легко обнаружить, сравнивая наблюденные уклонения (разброс точек) с примерно известными ошибками измерительной аппаратуры.

Тогда возникает весьма типичная для практики задача сглаживания экспериментальной зависимости. Желательно обработать экспериментальные данные так, чтобы по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов от 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, но вместе с тем сгладить незакономерные, случайные уклонения, связанные с неизбежными погрешностями самого наблюдения.

Для решения подобных задач обычно применяется расчетный метод, известный под названием «метода наименьших квадратов». Этот метод дает возможность при заданном типе зависимости 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов так выбрать ее числовые параметры, чтобы кривая 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов в известном смысле наилучшим образом отображала экспериментальные данные.

Скажем несколько слов о том, из каких соображений может быть выбран тип кривой 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов. Часто этот вопрос решается непосредственно по внешнему виду экспериментальной зависимости. Например, экспериментальные точки, изображенные на рис. 14.8.3, явно наводят на мысль о прямолинейной зависимости вида 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

Рис. 14.8.3.

Зависимость, изображенная на рис. 14.8.4, хорошо может быть представлена полиномом второй степени 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

Рис. 14.8.4.

Если речь идет о периодической функции, часто можно выбрать для ее изображения несколько гармоник тригонометрического ряда и т. д.

Очень часто бывает так, что вид зависимости (линейная, квадратичная, показательная и т. д.) бывает известен из физических соображений, связанных с существом решаемой задачи, а из опыта требуется установить только некоторые параметры этой зависимости.

Задачу о рациональном выборе таких числовых параметров при данном виде зависимости мы и будем решать в настоящем 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Пусть имеются результаты 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов независимых опытов, оформленные в виде простой статистической таблицы (табл. 14.8.1), где 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов - номер опыта; 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов - значение аргумента; 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов - соответствующее значение функции.

Таблица 14.8.1

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

Точки 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов нанесены на график (рис. 14.8.5).

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

Рис. 14.8.5.

Из теоретических или иных соображений выбран принципиальный вид зависимости 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов. Функция 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов содержит ряд числовых параметров 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов. Требуется так выбрать эти параметры, чтобы кривая 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов в каком-то смысле наилучшим образом изображала зависимость, полученную в опыте.

Решение этой задачи, как и любой задачи выравнивания или сглаживания, зависит от того, что именно мы условимся считать «наилучшим». Можно, например, считать «наилучшим» такое взаимное расположение кривой и экспериментальных точек, при котором максимальное расстояние между ними обращается в минимум; можно потребовать, чтобы в минимум обращалась сумма абсолютных величин отклонений точек от кривой и т. д. При каждом из этих требовании мы получим свое решение задачи, свои значения параметров 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Однако общепринятым при решении подобных задач является так называемый метод наименьших квадратов, при котором требование наилучшего согласования кривой 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов и экспериментальных точек сводится к тому, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от сглаживающей кривой обращалась в минимум. Метод наименьших квадратов имеет перед другими методами сглаживания существенные преимущества: во-первых. он приводит к сравнительно простому математическому способу определения параметров 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов; во-вторых, он допускает довольно веское теоретическое обоснование с вероятностной точки зрения.

Изложим это обоснование. Предположим, что истинная зависимость 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов от 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов в точности выражается формулой 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов; экспериментальные точки уклоняются от этой зависимости вследствие неизбежных ошибок измерения. Мы уже упоминали о том, что ошибки измерения, как правило, подчиняются нормальному закону. Допустим, что это так. Рассмотрим какое-нибудь значение аргумента 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов. Результат опыта есть случайная величина 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов и со средним квадратическим отклонением 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, характеризующим ошибку измерения. Предположим, что точность измерения во всех точках одинакова:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Тогда нормальный закон, по которому распределяется величина 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, можно записать в виде:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.                        (14.8.2)

В результате нашего опыта - ряда измерений - произошло следующее событие: случайные величины 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов приняли совокупность значений 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов. Поставим задачу: так подобрать математические ожидания 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, чтобы вероятность этого события была максимальна.

Строго говоря, вероятность любого из событий 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, так же как и их совмещения, равна нулю, так как величины 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов непрерывны; поэтому мы будем пользоваться не вероятностями событий 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, а соответствующими элементами вероятностей:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.              (14.8.3)

Найдем вероятность того, что система случайных величин 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов примет совокупность значений, лежащих в пределах

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов   14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Так как опыты независимы, эта вероятность равна произведению элементов вероятностей (14.8.3) для всех значений 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов                (14.8.4)

где 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов - некоторый коэффициент, не зависящий от 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Требуется так выбрать математические ожидания 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, чтобы выражение (14.8.4) обращалось в максимум.

Величина

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

всегда меньше единицы; очевидно, она имеет наибольшее значение, когда показатель степени по абсолютной величине минимален:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Отсюда, отбрасывая постоянный множитель 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, получаем требование метода наименьших квадратов: для того чтобы данная совокупность наблюденных значений

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

была наивероятнейшей, нужно выбрать функцию 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов так, чтобы сумма квадратов отклонений наблюденных значений 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов от 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов была минимальной:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Таким образом обосновывается метод наименьших квадратов, исходя из нормального закона ошибок измерения и требования максимальной вероятности данной совокупности ошибок.

Перейдем к задаче определения параметров 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, исходя из принципа наименьших квадратов. Пусть имеется таблица экспериментальных данных (табл. 14.8.1) и пусть из каких-то соображений (связанных с существом явления или просто с внешним видом наблюденной зависимости) выбран общий вид функции 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, зависящей от нескольких числовых параметров 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов; именно эти параметры и требуется выбрать согласно методу наименьших квадратов так, чтобы сумма квадратов отклонений 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов от 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов была минимальна. Запишем 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов как функцию не только аргумента 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, но и параметров 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов                  (14 8.5)

Требуется выбрать 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов так, чтобы выполнялось условие:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.                   (14.8.6)

Найдем значения 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, обращающие левую часть выражения (14.8.6) в минимум. Для этого продифференцируем ее по 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов и приравняем производные нулю:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов                        (14.8.7)

где 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов - значение частной производной функции 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов по параметру 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов в точке 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов - аналогично.

Система уравнений (14.8.7) содержит столько же уравнений, сколько неизвестных 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Решить систему (14.8.7) в общем виде нельзя; для этого необходимо задаться конкретным видом функции 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Рассмотрим два часто встречающихся на практике случая: когда функция 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов линейна и когда она выражается полиномом второй степени (параболой).

 

1. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Подбор параметров линейной функции методом наименьших квадратов

В опыте зарегистрирована совокупность значений 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (см. рис. 14.8.6).

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

Рис. 14.8.6.

Требуется подобрать по методу наименьших квадратов параметры 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов линейной функции

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

изображающей данную экспериментальную зависимость.

Решение. Имеем:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.                       (14.8.8)

Дифференцируя выражение (14.8.8) по 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов и 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, имеем:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

Подставляя в формулы (14.8.7), получим два уравнения для определения 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов и 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

или, раскрывая скобки и производя суммирование,

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов                     (14.8.9)

Разделим оба уравнения (14.8.9) на 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (14.8.10)

Суммы, входящие в уравнения (14.8.10), представляют собой не что иное, как уже знакомые нам статистические моменты:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

Подставляя эти выражения в систему (14.8.10), получим:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов                   (14.8.11)

Выразим 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов из второго уравнения (14.8.11) и подставим в первое:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Решая последнее уравнение относительно 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, имеем:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.                     (14.8.12)

Выражение (14.8.12) можно упростить, если ввести в него не начальные, а центральные моменты. Действительно,

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,      14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

откуда

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;  14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,                  (14.8.13)

где

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов                     (14.8.14)

Таким образом, поставленная задача решена, и линейная зависимость, связывающая 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов и 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, имеет вид:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

или, перенося 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов в левую часть,

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.                     (14.8.15)

Мы выразили коэффициенты линейной зависимости через центральные, а не через начальные вторые моменты только потому, что в таком видe формулы имеют более компактный вид. При практическом применении выведенных формул может оказаться удобнее вычислять моменты 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов и 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов не по формулам (14.8.14), а через вторые начальные моменты:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов                               (14.8.16)

Для того чтобы формулы (14.8.16) не приводили к разностям близких чисел, рекомендуется перенести начало отсчета в точку, не слишком далекую от математических ожиданий 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

 

2. Подбор параметров параболы второго порядка методом наименьших квадратов

В опыте зарегистрированы значения 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (см. рис. 14.8.7).

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

Рис. 14.8.7.

Требуется методом наименьших квадратов подобрать параметры квадратичной функции - параболы второго порядка:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

соответствующей наблюденной экспериментальной зависимости. Имеем:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;  14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;  14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;  14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Подставляя в уравнения (14.8.7), имеем:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

или, раскрывая скобки, производя суммирование и деля на 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов             (14.8.17)

Коэффициенты этой системы также представляют собой статистические моменты системы двух величии 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, а именно:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;         14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;         14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;  14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Пользуясь этими выражениями для коэффициентов через начальные моменты одной случайной величины и системы двух величин, можно придать системе уравнений (14.8.7) достаточно компактный вид. Действительно, учитывая, что 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов и перенося члены, не содержащие неизвестных, в правые части, приведем систему (14.8.17) к виду:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов              (14.8.18)

Закон образования коэффициентов в уравнениях (14.8.18) нетрудно подметить: в левой части фигурируют только моменты величины 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов в убывающем порядке; в правой части стоят моменты системы 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, причем порядок момента по 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов убывает от уравнения к уравнению, а порядок по 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов всегда остается первым.

Аналогичными по структуре уравнениями будут определяться коэффициенты параболы любого порядка.

Мы видим, что в случае, когда экспериментальная зависимость выравнивается по методу наименьших квадратов полиномом некоторой степени, то коэффициенты этого полинома находятся решением системы линейных уравнений. Коэффициенты этой системы линейных уравнений представляют собой статистические моменты различных порядков, характеризующие систему величии 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, если ее рассмотреть как систему случайных величин.

Почти так же просто решается задача сглаживания экспериментальной зависимости методом наименьших квадратов в случае, когда сглаживающая функция представляет собой не полином, а сумму произвольных заданных функций 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов с коэффициентами 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,       (14.8.19)

и когда требуется определить коэффициенты 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Например, экспериментальную зависимость можно сглаживать тригонометрическим полиномом

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

или линейной комбинацией показательных функций

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

и т. д.

В случае, если функция задается выражением типа (14.8.19), коэффициенты 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов находятся решением системы 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов линейных уравнений вида:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Выполняя почленное суммирование, имеем:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

или, короче,

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов                     (14.8.20)

 

Систему линейных уравнений (14.8.20) всегда можно решить и определить таким образом коэффициенты 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Сложнее решается задача о сглаживании методом наименьших квадратов, если в выражение функции 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов числовые параметры 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов входят нелинейно. Тогда решение системы (14.8.7) может оказаться сложным и трудоемким. Однако и в этом случае часто удается получить решение задачи с помощью сравнительно простых приемов.

Проиллюстрируем идею, этих приемов на самом простом примере функции, нелинейно зависящей только от одного параметра 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (например, 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратовили 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, или 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов). Имеем:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,                (14.8.21)

где 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов - параметр, подлежащий подбору методом наименьших квадратов для наилучшего сглаживания заданной экспериментальной зависимости (рис. 14.8.8).

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

Рис. 14.8.8.

Будем решать задачу следующим образом. Зададимся рядом значений параметра 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов и для каждого из них найдем сумму квадратов уклонений 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов от 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов. Эта сумма квадратов есть некоторая функция 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов; обозначим ее 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Нанесем значение 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов на график (рис. 14.8.9).

То значение 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, для которого кривая 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов имеет минимум, и выбирается как подходящее значение параметра 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов в выражении (14.8.21).

Совершенно так же, в принципе, можно, не решая уравнений (14.8.7), подобрать совокупность двух параметров 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, удовлетворяющую принципу наименьших квадратов; работа при этом лишь незначительно усложнится и сведется к построению не одного, а нескольких графиков (рис. 14.8.10); при этом придется искать совокупность значений 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, обеспечивающую минимум минимального значения суммы квадратов отклонений 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

Рис. 14.8.9.

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

Рис. 14.8.10.

Пример1. В опыте исследована зависимость глубины проникания 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов тела в преграду от удельном энергии 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (энергии, приходящейся на квадратный сантиметр площади соударения). Экспериментальные данные приведены в таблице 14.8.2 и на графике (рис. 14.8.11).

Таблица 14.8.2.

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

1

41

4

2

50

8

3

81

10

4

104

14

5

120

16

6

139

20

7

154

19

8

180

23

9

208

26

10

241

30

11

250

31

12

269

36

13

301

37

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

Рис. 14.8.11.

Требуется по методу наименьших квадратов подобрать и построить прямую, изображающую зависимость 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов от 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Решение. Имеем:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,            14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Для обработки по начальным моментам переносим начало координат в близкую к средней точку:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;       14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Получаем новую таблицу значений величин:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;   14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

(табл. 14.8.3).

Таблица 14.8.3.

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

1

-109

-16

2

-100

-12

3

-69

-10

4

-46

-6

5

-30

-4

6

-11

0

7

4

-1

8

30

3

9

58

6

10

91

10

11

100

11

12

119

16

13

151

17

Определяем моменты:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Уравнение прямой имеет вид:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

или

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.              (14.8.22)

Прямая (14.8.22) показана на рис. 14.8.11.

Пример 2. Произведен ряд опытов по измерению перегрузки авиационной бомбы, проникающей в грунт, при различных скоростях встречи. Полученные значения перегрузки 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов в зависимости от скорости 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов приведены в таблице 14.8.4.

Таблица 14.8.4.

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

1

120

540

2

131

590

3

140

670

4

161

760

5

174

850

6

180

970

7

200

1070

8

214

1180

9

219

1270

10

241

1390

11

250

1530

12

268

1600

13

281

1780

14

300

2030

Построить по методу наименьших квадратов квадратичную зависимость вида:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

наилучшим образом согласующуюся с экспериментальными данными.

Решение. В целях удобства обработки удобно изменить единицы измерения так, чтобы не иметь дела с многозначными числами; для этого можно значения 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов выразить в сотнях м/сек (умножить на 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов), а 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов - в тысячах единиц (умножить на 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов) и всю обработку провести в этих условных единицах.

Находим коэффициенты уравнений (14.8.18).

В принятых условных единицах:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Система уравнений (14.8.18) имеет вид:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Решая эту систему, находим:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;                  14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов;                  14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

На рис. 14.8.12 нанесены экспериментальные точки и зависимость

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

построенная по методу наименьших квадратов.

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

Рис. 14.8.12.

Примечание. В некоторых случаях может потребоваться провести кривую так, чтобы она точно проходила через некоторые заданные заранее точки. Тогда некоторые из числовых параметров 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, входящих в функцию 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, могут быть определены из этих условий.

Например, в условиях примера 2 может понадобиться проэкстраполироватъ зависимость 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов на малые значения 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, при этом естественно провести параболу второго порядка так, чтобы она проходила через начало координат (т. е. нулевой скорости встречи соответствовала нулевая перегрузка). Тогда, естественно, 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов и зависимость 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов приобретает вид:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

а система уравнений для определения 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов и 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов будет иметь вид:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов,

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Пример 3. Конденсатор, заряженный до напряжения 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов вольт, разряжается через некоторое сопротивление. Зависимость напряжения 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов между обкладками конденсатора от времени 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов зарегистрирована на участке времени 10 сек с интервалом 1 сек. Напряжение измеряется с точностью до 5 вольт. Результаты измерений приведены в таблице 14.8.5.

Таблица 14.8.5.

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

1

0

100

7

6

15

2

1

75

8

7

10

3

2

55

9

8

10

4

3

40

10

9

5

5

4

30

11

10

5

6

5

20

 

 

 

Согласно теоретическим данным, зависимость напряжения от времени должна иметь вид:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Основываясь на опытных данных, подобрать методом наименьших квадратов значение параметра 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Решение. По таблицам функции 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов убеждаемся, что 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов доходит приблизительно до 0,05 при 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов; следовательно, коэффициент 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов должен иметь порядок 0,3. Задаемся в районе 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов несколькими значениями 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов:

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

и вычисляем для них значения функции

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

в точках 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (табл. 14.8.6). В нижней строке таблицы 14.8.6 помещены значения суммы квадратов отклонений 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов в зависимости от 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов.

Таблица 14.8.6.

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

1

0

100,0

100,0

100,0

100,0

100,0

100,0

2

1

75,5

74,8

74,1

73,3

72,6

71,9

3

2

57,1

56,0

54,9

53,8

52,7

51,7

4

3

43,2

41,9

40,7

39,5

38,3

37,2

5

4

32,6

31,3

30,1

28,9

27,8

26,7

6

5

24,6

23,5

22,3

21,2

20,2

19,2

7

6

18,6

17,6

16,5

15,6

14,7

13,8

8

7

14,1

13,1

12,2

11,4

10,6

9,9

9

8

10,7

9,8

9,1

8,4

7,7

7,1

10

9

8,0

7,4

6,7

6,1

5,6

5,1

11

10

6,1

5,5

5,0

4,5

4,1

3,7

 

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

83,3

40,3

17,4

13,6

25,7

51,4

График функции 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов приведен на рис. 14.8.13.

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

Рис. 14.8.13.

Из графика видно, что значение 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, отвечающее минимуму, приближенно равно 0,307. Таким образом, по методу наименьших квадратов наилучшим приближением к опытным данным будет функция 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов. График этой функции вместе с экспериментальными точками дан на рис. 14.8.14.

14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

Рис. 14.8.14.

 

 

Информация, изложенная в данной статье про сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов , подчеркивают роль современных технологий в обеспечении масштабируемости и доступности. Надеюсь, что теперь ты понял что такое сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

создано: 2017-07-02
обновлено: 2021-03-13
132312



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Термины: Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ