3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) кратко

Лекция

Привет, Вы узнаете о том , что такое теорема гипотез формула бейеса , Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое теорема гипотез формула бейеса , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез, или формула Бейеса.

Поставим следующую задачу.

Имеется полная группа несовместных гипотез 3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно . Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события 3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) . Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?

Здесь, по существу, речь идет о том, чтобы найти условную вероятность 3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) для каждой гипотезы.

Из теоремы умножения имеем:

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) ,

или, отбрасывая левую часть,

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) ,

откуда

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) .

Выражая 3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) с помощью формулы полной вероятности (3.4.1), имеем:

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) . (3.5.1)

Формула (3.5.1) и носит название формулы Бейеса или теоремы гипотез.

Пример 1. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества; вообще около 40% приборов собирается из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, его надежность (вероятность безотказной работы) за время 3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) равна 0,95; если из деталей обычного качества – его надежность равна 0,7. Прибор испытывался в течение времени и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.

Решение. Возможны две гипотезы:

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) - прибор собран из высококачественных деталей,

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) - прибор собран из деталей обычного качества.

Вероятность этих гипотез до опыта:

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) .

В результате опыта наблюдено событие 3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) – прибор безотказно работал время .

Условные вероятности этого события при гипотезах 3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) и равны:

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса)

По формуле (3.5.1) находим вероятность гипотезы 3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) после опыта:

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) .

Пример 2. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.

Решение. До опыта возможны следующие гипотезы:

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) - ни первый, ни второй стрелок не попадет,

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) - оба стрелка попадут,

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) - первый стрелок попадет, а второй нет,

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) - первый стрелок не попадет, а второй попадет.

Вероятность этих гипотез:

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса)

Условные вероятности наблюденного события 3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) при этих гипотезах равны:

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса)

После опыта гипотезы 3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) и становятся невозможными, а вероятности гипотез и будут равны:

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса)

Следовательно, вероятность того, что пробоина принадлежит первому стрелку, равна 3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) .

Пример 3. Производится наблюдение за некоторым объектом с помощью двух наблюдательных станций. Объект может находиться в двух различных состояниях 3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) и , случайно переходя из одного в другое. Долговременной практикой установлено, что примерно 30% времени объект находится в состоянии 3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) , а 70% - в состоянии . Наблюдательная станция №1 передает ошибочные сведения приблизительно в 2% всех случаев, а наблюдательная станция №2 – в 8%. В какой-то момент времени наблюдательная станция №1 сообщила: объект находится в состоянии 3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) , а наблюдательная станция №2: объект находится в состоянии .

Спрашивается: какому из сообщений верить?

Решение. Естественно, верить тому из сообщений, для которого больше вероятность того, что оно соответствует истине. Применим формулу Бейеса. Для этого сделаем гипотезы о состоянии объекта:

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) - объект находится в состоянии ,

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) - объект находится в состоянии .

Наблюденное событие 3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) состоит в следующем: станция №1 сообщила, что объект находится в состоянии , а станция №2 – что он находится в состоянии . Вероятности гипотез до опыта

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса)

Найдем условные вероятности наблюденного события 3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) при этих гипотезах. При гипотезе чтобы произошло событие , нужно, чтобы первая станция передала верное сообщение, а вторая – ошибочное:

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) .

Аналогично

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) .

Применяя формулу Бейеса, найдем вероятность того, что истинное состояние объекта - 3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) :

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) ,

т.е. из двух сообщений более правдоподобным является сообщение первой станции.

Информация, изложенная в данной статье про теорема гипотез формула бейеса , подчеркивают роль современных технологий в обеспечении масштабируемости и доступности. Надеюсь, что теперь ты понял что такое теорема гипотез формула бейеса и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про теорема гипотез формула бейеса

3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) кратко

Комментарии

Оставить комментарий

Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Термины: Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ