14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины кратко

Лекция

Привет, Вы узнаете о том , что такое точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины , Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины , распределенной по нормальному закону

В предыдущем 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины мы рассмотрели грубо приближенные методы построения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии. В данном 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины мы дадим представление о точных методах решения той же задачи. Подчеркнем, что для точного нахождения доверительных интервалов совершенно необходимо знать заранее вид закона распределения величины 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины , тогда как для применения приближенных методов это не обязательно.

Идея точных методов построения доверительных интервалов сводится к следующему. Любой доверительный интервал находится из условия, выражающего вероятность выполнения некоторых неравенств, в которые входит интересующая нас оценка 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины . Закон распределения оценки в общем случае зависит от самих неизвестных параметров величины 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины . Однако иногда удается перейти в неравенствах от случайной величины к какой-либо другой функции наблюденных значений 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины , закон распределения которой не зависит от неизвестных параметров, а зависит только от числа опытов 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины и от вида закона распределения величины . Такого рода случайные величины играют большую роль в математической статистике; они наиболее подробно изучены для случая нормального распределения величины 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины .

Например, доказано, что при нормальном распределении величины 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины случайная величина

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины , (14.4.1)

где

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины , ,

подчиняется так называемому закону распределения Стьюдента с 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины степенями свободы; плотность этого закона имеет вид

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины , (14.4.2)

где 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины - известная гамма-функция:

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины .

Доказано также, что случайная величина

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины (14.4.3)

имеет «распределение 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины » с степенями свободы (см. гл. 7. стр. 145), плотность которого выражается формулой

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины (14.4.4)

Не останавливаясь на выводах распределений (14.4.2) и (14.4.4), покажем, как их можно применить при построении доверительных интервалов для параметров 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины и .

Пусть произведено 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины независимых опытов над случайной величиной , распределенной по нормальному закону с неизвестными параметрами 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины и . Для этих параметров получены оценки

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины , .

Требуется построить доверительные интервалы для обоих параметров, соответствующие доверительной вероятности 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины .

Построим сначала доверительный интервал для математического ожидания. Естественно этот интервал взять симметричным относительно 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины ; обозначим половину длины интервала. Величину нужно выбрать так, чтобы выполнялось условие

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины . (14.4.5)

Попытаемся перейти в левой части равенства (14.4.5) от случайной величины 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины к случайной величине , распределенной по закону Стьюдента. Для этого умножим обе части неравенства 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины на положительную величину :

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины

или, пользуясь обозначением (14.4.1),

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины . (14.4.6)

Найдем такое число 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины , что

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины . (14.4.7)

Величина 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины найдется из условия

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины . (14.4.8)

Из формулы (14.4.2) видно, что 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины - четная функция; поэтому (14.4.8) дает

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины . (14.4.9)

Равенство (14.4.9) определяет величину 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины в зависимости от . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Если иметь в своем распоряжении таблицу значений интеграла

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины ,

то величину можно найти обратным интерполированием в этой таблице. Однако удобнее составить заранее таблицу значений 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины . Такая таблица дается в приложении (см. табл. 5). В этой таблице приведены значения 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины в зависимости от доверительной вероятности и числа степеней свободы . Определив 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины по таблице 5 и полагая

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины , (14.4.10)

мы найдем половину ширины доверительного интервала 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины и сам интервал

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины . (14.4.11)

Пример 1. Произведено 5 независимых опытов над случайной величиной 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины , распределенной нормально с неизвестными параметрами и . Результаты опытов приведены в таблице 14.4.1.

Таблица 14.4.1

	1	2	3	4	5
	-2,5	3,4	-2,0	1,0	2,1

Найти оценку 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины для математического ожидания и построить для него 90%-й доверительный интервал (т. е. интервал, соответствующий доверительной вероятности 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины ).

Решение. Имеем

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины ; .

По таблице 5 приложения для 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины и находим

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины ,

откуда

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины .

Доверительный интервал будет

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины .

Пример 2. Для условий примера 1 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины 14.3, предполагая величину распределенной нормально, найти точный доверительный интервал.

Решение. По таблице 5 приложения находим при 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины и

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины ; отсюда .

Сравнивая с решением примера 1 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины 14.3 (), убеждаемся, что расхождение весьма незначительно. Если сохранить точность до второго знака после запятой, то доверительные интервалы, найденные точным и приближенным методами, совпадают:

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины .

Перейдем к построению доверительного интервала для дисперсии.

Рассмотрим несмещенную оценку дисперсии

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины

и выразим случайную величину 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины через величину (14.4.3), имеющую распределение (14.4.4):

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины . (14.4.12)

Зная закон распределения величины 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины , можно найти интервал , в который она попадает с заданной вероятностью .

Закон распределения 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины величины имеет вид, изображенный на рис. 14.4.1.

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины

Рис. 14.4.1.

Возникает вопрос: как выбрать интервал 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины ? Если бы закон распределения величины был симметричным (как нормальный закон или распределение Стьюдента), естественно было бы взять интервал 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины симметричным относительно математического ожидания. В данном случае закон 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины несимметричен. Условимся выбирать интервал так, чтобы вероятности выхода величины 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины за пределы интервала вправо и влево (заштрихованные площади на рис. 14.4.1) были одинаковы и равны

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины .

Чтобы построить интервал 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины с таким свойством, воспользуемся таблицей 4 приложения: в ней приведены числа 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины такие, что

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины

для величины 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины , имеющей распределение с степенями свободы. В нашем случае . Зафиксируем 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины и найдем в соответствующей строке табл. 4 два значения ; одно, отвечающее вероятности 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины , другое - вероятности . Обозначим эти значения и . Интервал имеет своим левым, а 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины - правым концом.

Теперь найдем по интервалу 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины искомый доверительный интервал для дисперсии с границами и , который накрывает точку 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины с вероятностью :

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины .

Построим такой интервал 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины , который накрывает точку тогда и только тогда, когда величина попадает в интервал 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины . Покажем, что интервал

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины (14.4.13)

удовлетворяет этому условию. Действительно, неравенства

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины ;

равносильны неравенствам

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины ; ,

а эти неравенства выполняются с вероятностью 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины . Таким образом, доверительный интервал для дисперсии найден и выражается формулой (14.4.13).

Пример 3. Найти доверительный интервал для дисперсии в условиях примера 2 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины 14.3, если известно, что величина распределена нормально.

Решение. Имеем 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины ; ; . По таблице 4 приложения находим при

для 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины ;

для 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины .

По формуле (14.4.13) находим доверительный интервал для дисперсии

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины .

Соответствующий интервал для среднего квадратического отклонения: 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины . Этот интервал лишь незначительно превосходит полученный в примере 2 14.3 приближенным методом интервал 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины .

Информация, изложенная в данной статье про точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины , подчеркивают роль современных технологий в обеспечении масштабируемости и доступности. Надеюсь, что теперь ты понял что такое точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины кратко

точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины , распределенной по нормальному закону

Комментарии

Оставить комментарий

Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Термины: Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ