Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

3.4. Формула полной вероятности кратко

Лекция



Привет, Вы узнаете о том , что такое формула полной вероятности, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое формула полной вероятности , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

Следствием обеих основных теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей – является так называемая формула полной вероятности .

 

Пусть требуется определить вероятность некоторого события 3.4. Формула полной вероятности, которое может произойти вместе с одним из событий:

3.4. Формула полной вероятности,

образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.

Докажем, что в этом случае

3.4. Формула полной вероятности,           (3.4.1)

т.е. вероятность события 3.4. Формула полной вероятности вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

Формула (3.4.1) носит название формулы полной вероятности.

Доказательство. Так как гипотезы 3.4. Формула полной вероятности образуют полную группу, то событие 3.4. Формула полной вероятности может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез:

3.4. Формула полной вероятности.

Так как гипотезы 3.4. Формула полной вероятности несовместны, то и комбинации 3.4. Формула полной вероятности также несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим:

3.4. Формула полной вероятности.

Применяя к событию 3.4. Формула полной вероятности теорему умножения, получим:

3.4. Формула полной вероятности,

что и требовалось доказать.

Пример 1. Имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне два белых и один черный шар; во второй – три белых и один черный; в третьей – два белых и два черных шара. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение. Рассмотрим три гипотезы:

3.4. Формула полной вероятности - выбор первой урны,

3.4. Формула полной вероятности- выбор второй урны,

3.4. Формула полной вероятности - выбор третьей урны

и событие 3.4. Формула полной вероятности – появление белого шара.

Так как гипотезы, по условию задачи, равновозможные, то

3.4. Формула полной вероятности.

Условные вероятности события 3.4. Формула полной вероятности при этих гипотезах соответственно равны:

3.4. Формула полной вероятности.

По формуле полной вероятности

3.4. Формула полной вероятности.

Пример 2. По самолету производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,5, при третьем 0,7. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий; при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,2, при двух попаданиях – с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя.

Решение. Рассмотрим четыре гипотезы:

3.4. Формула полной вероятности - в самолет не попало ни одного снаряда,

3.4. Формула полной вероятности - в самолет попал один снаряд,

3.4. Формула полной вероятности - в самолет попало два снаряда,

3.4. Формула полной вероятности - в самолет попало три снаряда.

Пользуясь теоремами сложения и умножения, найдем вероятности этих гипотез:

3.4. Формула полной вероятности

Условные вероятности события 3.4. Формула полной вероятности (выход самолета из строя) при этих гипотезах равны:

3.4. Формула полной вероятности.

Применяя формулу полной вероятности, получим:

3.4. Формула полной вероятности

Заметим, что первую гипотезу 3.4. Формула полной вероятности можно было бы и не вводить в рассмотрение, так как соответствующий член в формуле полной вероятности обращается в нуль. Так обычно и поступают при применении формулы полной вероятности, рассматривая не полную группу несовместных гипотез, а только те из них, при которых данное событие возможно.

Пример 3. Работа двигателя контролируется двумя регуляторами. Рассматривается определенный период времени 3.4. Формула полной вероятности, в течение которого желательно обеспечить безотказную работу двигателя. При наличии обоих регуляторов двигатель отказывается с вероятностью 3.4. Формула полной вероятности, при работе только первого из них – с вероятностью 3.4. Формула полной вероятности, при работе только второго - 3.4. Формула полной вероятности, при отказе обоих регуляторов – с вероятностью 3.4. Формула полной вероятности. Первый из регуляторов имеет надежность 3.4. Формула полной вероятности, второй - 3.4. Формула полной вероятности. Все элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти полную надежность (вероятность безотказной работы) двигателя.

Решение. Рассмотрим гипотезы:

3.4. Формула полной вероятности - работают оба регулятора,

3.4. Формула полной вероятности - работает только первый регулятор (второй вышел из строя),

3.4. Формула полной вероятности - работает только второй регулятор (первый вышел из строя),

3.4. Формула полной вероятности - оба регулятора вышли из строя

и событие

3.4. Формула полной вероятности – безотказная работа двигателя.

Вероятности гипотез равны:

3.4. Формула полной вероятности

Условные вероятности события 3.4. Формула полной вероятности при этих гипотезах заданы:

3.4. Формула полной вероятности

По формуле полной вероятности получим:

3.4. Формула полной вероятности

Информация, изложенная в данной статье про формула полной вероятности , подчеркивают роль современных технологий в обеспечении масштабируемости и доступности. Надеюсь, что теперь ты понял что такое формула полной вероятности и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про формула полной вероятности
создано: 2017-07-02
обновлено: 2021-03-13
132292



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Термины: Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ