2.4 Энтропия и вероятность

Привет, Вы узнаете о том , что такое энтропия, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое энтропия, вероятность , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Синергетика.

Формула Больцмана

На центральном кладбище города Вены покоится прах австрийского физика Больцмана (1844-1906 гг.). На его надгробии выгравирована формула, которая носит его имя:

S=k*ln(P), k = R/N = 1,38*10^-23 Дж/К,(1)где k - фундаментальная мировая постоянная Больцмана;
R = 8,31 Дж/(моль*К) - молярная газовая постоянная;
N = 6,06*10²³ моль^-1 - число Авогадро;
Р - статистический вес: число способов осуществления данного состояния.

Параметр S - энтропия - служит мерой рассеяния энергии Вселенной, а Р - характеризует любые самопроизвольные изменения, эта величина относится к миру атомов, определяющих скрытый механизм изменения. Итак, формула (1), вывод которой дан отдельно, связывает энтропию с хаосом.

Смысл формулы Больцмана

В условиях равновесия энтропия - функция состояния системы, которую можно измерить или вычислить теоретически. Но стоит изолированной системе отклониться от равновесия - возникает свойство энтропии - она только возрастает.

Представим формулу (1) в виде

P = e^S/K

и обратим внимание на то, что статистический вес состояния системы P экспоненциально растет с ростом S. Иными словами, менее упорядоченное состояние (больший хаос) имеет больший статистический вес^*, т. к. оно может быть реализовано большим числом способов. Следовательно, энтропия - мера неупорядоченности системы.

Из-за случайных перекладываний растет беспорядок на столе, в комнате. Порядок создается искусственно, беспорядок - самопроизвольно, т. к. ему отвечает большая вероятность , большая энтропия. Разумная деятельность человека направлена на преодоление разупорядоченности.

Обратим внимание на то, что первое начало термодинамики (закон сохранения энергии) - закон абсолютно строгий, это детерминированный закон. Второе начало термодинамики - закон возрастания энтропии - закон статистический (вероятностный).

Существует даже вероятность того, что молекулы, находящиеся в кубике размером 1 см³ могут все собраться в одной половине этого кубика. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Вероятность для одной молекулы находиться в правой части кубика: q₁=1/2. При нормальных условиях в 1 см³ содержится число молекул 2,7*10¹⁹ (число Лошмидта), тогда вероятность того, что все молекулы соберутся в правую половину кубика равна  . Это исчезающе малая величина.

Работа Больцмана - прорыв в совершенно новую область: в физику вошла вероятность, статистические законы. Это значит, что хотя и редко, но энтропия может и убывать.

Флуктуации

В состоянии равновесия происходит в системе выравнивание температур T, плотностей  и S S_max, т. е. система находится в состоянии максимально возможной неоднородности. Однако возможны отклонения от наиболее вероятного значения температуры  Т, сгущения и разряжения газа ( r). Эти отклонения называются флуктуациями. Они тем менее вероятны, чем больше число молекул. Вспомним (вывод) распределение N молекул по двум ящикам.

Рассчитаем распределение по двум ящикам для 2; 4; 6; ... ; 12 молекул. Результаты представлены в табл.1.

Таблица 1. Распределение молекул по двум ящикам и статистический вес.

N молекул
2	4	6	8	10	12
2/0 1	4/0 1	6/0 1	8/0 1	10/0 1	12/0 1
1/1 2	3/1 4	5/1 6	7/1 8	9/1 10	11/1 12
0/2 1	2/2 6	4/2 15	6/2 28	8/2 45	10/2 66
	1/3 4	3/3 20	5/3 56	7/3 120	9/3 220
	0/4 1	2/4 15	4/4 70	6/4 210	8/4 495
		1/5 6	3/5 56	5/5 252	7/5 792
		0/6 1	2/6 28	4/6 210	6/6 924
			1/7 8	3/7 120	5/7 792
			0/8 1	2/8 45	4/8 495
				1/9 10	3/9 220
				0/10 1	2/10 66
					1/11 12
					0/12 1

Из таблицы видно, как меняется характер распределения при увеличении числа частиц N: чем больше N, тем острее распределение, т. е. тем меньше вероятность крайних распределений. При N=2, статистический вес состояния, при котором все молекулы собрались, например, в левом ящике всего в два раза меньше состояния с равномерным распределением. При N=12 это соотношение уже не 1:2, а 1:924. Итак, вероятность заметного отклонения от наиболее вероятного состояния убывает с ростом N. Эти отклонения и есть флуктуации^*.

При большом числе молекул число способов их равномерного распределения по двум ящикам равно

Приближенное выражение получено согласно формуле Стирлинга [1].

Прочтение данной статьи про энтропия позволяет сделать вывод о значимости данной информации для обеспечения качества и оптимальности процессов. Надеюсь, что теперь ты понял что такое энтропия, вероятность и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Синергетика

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про энтропия