5.5 Динамика Ферхюльста

Привет, Вы узнаете о том , что такое динамика ферхюльста, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое динамика ферхюльста , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Синергетика.

Отношение ежегодного прироста численности dX некоторой популяции к ее общей численности Х назовем коэффициентом прироста популяции r. При постоянном значении этой величины в течение всего периода времени закон роста является линейным и приводит к экспоненциальной зависимости

dX/X=rd (1)где d - отрезок времени, Х₀ - начальное значение численности популяции. 

При коэффициенте r = 5% = 0,05, популяция удваивает свою численность каждые 14 лет. Однако для роста всегда существуют пределы и зависимость (1) справедлива на ограниченных промежутках времени. Ограничения на рост сформулировал в 1845 г. П. Ф. Ферхюльст: любая экологическая ниша способна обеспечить существование популяции только определенного размера Х, и коэффициент прироста должен снижаться при приближении размера популяции к Х. Иными словами, переменный коэффициент r делал процесс нелинейным. Прошло свыше ста лет прежде чем осознали вытекающие из этого необычные следствия. В частности, когда параметры роста превысят 200% . При малой величине популяции ее рост приводит к повышению оптимального размера, это вызывает ответную реакцию, и популяция уменьшается до значений меньших Х, затем появляются устойчивые колебания между большим и малым размером.

Когда параметр роста превысит 245% , колебания все более усложняются, процесс приходит к устойчивым периодическим колебаниям и далее к хаосу . Это значит, что система выходит из-под контроля, и нельзя предсказать ее поведение на длительное время. Следовательно, динамика ферхюльста позволяет найти сценарий, по которому порядок превращается в хаос. Эта проблема требует более последовательного изучения модели роста популяции.

Сценарий возникновения хаоса

Воспользуемся методом анализа, рассмотренным paнee и построим модель роста какой-либо популяции [15].

Пусть х₀ - начальная численность популяции, а х_n - ее численность через n лет. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Коэффициент прироста R, по определению, есть относительное изменение численности за 1 год

 . (2)

Допустим, что R = r - константа, и сформулируем вытекающий из (2) закон динамики роста

х_n+1=f(х_n)=(1+r)х_n (3)

Через n лет численность популяции будет равна

(х_n)=(1+r)ⁿ х₀.

Как указывалось выше, для ограничения этой численности (экспоненциальный рост) Ферхюльст заставил меняться коэффициент прироста r и быть пропорциональным (1 - x_n), т. е. допустил, что

R=r(1-х_n) (4)

При х_n<1 происходит рост популяции, а при х_n=1 - рост прекращается. Из (3) и (4) следует закон, управляющий динамикой процесса

х_n+1=f(х_n)= (1+r)х_n-rх_n²; (5)

Для х₀ = 0 и х₀ = 1 роста популяции нет. Действительно, при х₀ = 0 популяция попросту отсутствует, а при х₀ = 1 из (5) следует х₁=(1+r)-r= 1, т. е. тоже нет роста. Однако, если начальная численность хоть немного будет отличаться от нуля, 0<х₀<1, то при r>0 через год численность х₁ возрастет: х₁ > х₀ + rх₀. Последующие значения х₁, х₂, ... растут пока не достигнут единицы.

Проследим, как изменяются малые отклонения  _n=х_n-1; для этого линеаризуем (5)

х_n+1=(1+r)(1+ _n) -r(1+ _n)²= 1+ _n(1-r) +r _n².

Обозначим  _n=1=х_n+1-1 и линеаризуем последнее выражение

 _n+1~(1+r) _n (6)

Видно, что при 0<r<2 по абсолютной величине  _n+1 меньше, чем  _n. Выше был приведен график изменения во времени популяциидля случая r = 1,8 и начального значения х₀ = 0,001. Величина х поначалу растет, т. к. она менее 1, но на третьем шаге ее значение несколько превышает х₀ = 0,1, затем убывает в соответствии с (6):  _n+1= -0.8 _n, и процесс приближается к конечному состоянию х = 1.

Однако при r> 2 соотношение (6) предсказывает рост отклонений  _n, и состояние равновесия х = 1 уже неустойчиво. Из графика видно, что процесс при r = 2,5 начинает периодически осциллировать между двумя уровнями.

С ростом r анализ соотношения (5) дает следующий результат: для r = 2,5 получается ломанная линия, т. е. процесс переходит к устойчивым периодическим колебаниям с периодом 4, при дальнейшем росте r происходит удвоение периодов колебаний. Наконец, при r =2,572 процесс вообще перестает быть периодическим, прыгает и, несмотря на изначальную детерминированность, его невозможно прогнозировать на большие периоды времени. Подобное поведение называют хаотическим, график построен для х₀ = 0,001 и r=3.

Рис.1.Сценарий удвоения периода процесса Ферхюльста.

В случае процесса Ферхюльста все возможные типы поведения можно представить с помощью бифуркационной диаграммы, которая отражает зависимость динамики популяции от параметра r. В процессе вычислений находили особенности переходного периода и отмечали асимптотическое значение х, т. е. выходили на аттрактор. Он состоит из одной точки при r<2, из двух точек при 2<r<2,449, затем из 4, 8, 16, ... точек вплоть до хаоса, где точки аттрактора заполняют целые полосы.

При точном анализе точек бифуркации в процессе Ферхюльста в 1977 г. обнаружена замечательная закономерность. Она касается длин интервалов, при которых устойчивым является периодическое движение с некоторым определенным интервалом. Эти интервалы сокращаются при каждом удвоении периода, причем множитель, характеризующий сокращение

 .

Это число называют "числом Фейгенбаума".

Это открытие вызвало большую активность ученых. Показано, что сценарий удвоения периода наблюдается и в турбулентном потоке жидкости, и в нелинейных колебаниях в электрических цепях, и в физиологии (переход от нормального цикла к фибрилляции)

Прочтение данной статьи про динамика ферхюльста позволяет сделать вывод о значимости данной информации для обеспечения качества и оптимальности процессов. Надеюсь, что теперь ты понял что такое динамика ферхюльста и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Синергетика

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про динамика ферхюльста