Элементарная алгебра

Привет, Вы узнаете о том , что такое уравнения , Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое уравнения , неравенства, переменные, выражения, алгебраические обозначения, радикальные уравнения, экспоненциальные уравнения , логарифмические уравнения, квадратные уравнения , линейные уравнения, система линейных уравнений . , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Алгебра.

Элементарная алгебра охватывает некоторые из основных понятий алгебры , одного из основных разделов математики . Его обычно преподают учащимся средней школы, и он основан на их понимании арифметики . В то время как арифметика имеет дело с заданными числами, алгебра вводит величины без фиксированных значений, известные как переменные . Такое использование переменных влечет за собой использование алгебраических обозначений и понимание общих правил операторов, введенных в арифметике. В отличие от абстрактной алгебры , элементарная алгебра не занимается алгебраическими структурами вне областидействительные и комплексные числа .

Использование переменных для обозначения количеств позволяет формально и лаконично выразить общие отношения между величинами и, таким образом, позволяет решать более широкий круг проблем. Многие количественные соотношения в науке и математике выражаются в виде алгебраических уравнений .

алгебраические обозначения

Алгебраическая нотация описывает правила и соглашения для написания математических выражений , а также терминологию, используемую для описания частей выражений. Например, выражение имеет следующие компоненты:

1. Показатель степени (степень),
2. Коэффициент ,
3. термин ,
4. оператор ,
5. константа , x, y : переменные

Коэффициент представляет собой числовое значение, или буква , представляющая собой численную константу, которая умножает переменный (оператор опущен). Термин является слагаемого или слагаемым , группа коэффициентов, переменных, констант и показателей , которые могут быть отделены от других условий на плюс и минус операторов. Буквы обозначают переменные и константы. По соглашению буквы в начале алфавита (например,) обычно используются для представления констант , а константы ближе к концу алфавита (например,и z ) используются для представления переменных . Обычно они пишутся курсивом.

Алгебраические операции работают таким же образом , как и арифметические операции , , такие как сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степени . и применяются к алгебраическим переменным и термам. Символы умножения обычно опускаются и подразумеваются, когда нет пробела между двумя переменными или членами, или когда используется коэффициент . Например, записывается как , а также может быть написано .

Обычно члены с наибольшей степенью ( показателем степени ) пишут слева, например,написано слева от x . Когда коэффициент равен единице, он обычно опускается (например, написано ). Аналогично, когда показатель степени (степень) равен единице (например, написано ). [10] Когда показатель степени равен нулю, результат всегда равен 1 (например,всегда переписывается на 1 ). [11] Однако, будучи неопределенным, не должны появляться в выражении, и следует проявлять осторожность при упрощении выражений, в которых переменные могут появляться в показателях степени.

Альтернативная нотация

Другие типы обозначений используются в алгебраических выражения х, когда требуемое форматирование недоступно или не может подразумеваться, например, когда доступны только буквы и символы. В качестве иллюстрации этого, хотя показатели обычно форматируются с использованием надстрочных индексов, например,, в обычном тексте и на языке разметки TeX символ вставки «^» представляет возведение в степень, поэтомузаписывается как «x ^ 2». [12] [13] , а также некоторые языки программирования, такие как Lua. В таких языках программирования, как Ada , [14] Fortran , [15] Perl , [16] Python [17] и Ruby , [18] используется двойная звездочка, поэтомузаписывается как «х ** 2». Многие языки программирования и калькуляторы используют одну звездочку для обозначения символа умножения [19], и его необходимо использовать явно, например, пишется «3 * х».

Концепции

Переменные

Пример переменных, показывающих взаимосвязь между диаметром круга и его длиной. Для любого круга , его окружность с , деленным на ее диаметр D , равно постоянной пи , (приблизительно 3,14).

Элементарная алгебра основывается на арифметике [20] и расширяет ее за счет введения букв, называемых переменными, для представления общих (неуказанных) чисел. Это полезно по нескольким причинам.

1. Переменные могут представлять числа, значения которых еще не известны . Например, если температура текущего дня, C, на 20 градусов выше, чем температура предыдущего дня, P, тогда проблема может быть описана алгебраически как. [21]
2. Переменные позволяют описывать общие проблемы [22] без указания значений задействованных величин. Например, можно конкретно указать, что 5 минут эквивалентнысекунд. В более общем (алгебраическом) описании может быть указано, что количество секунд,, где m - количество минут.
3. Переменные позволяют описывать математические отношения между величинами, которые могут варьироваться. [23] Например, связь между длиной окружности c и диаметром d круга описывается следующим образом:.
4. Переменные позволяют описывать некоторые математические свойства. Например, основным свойством сложения является коммутативность, которая гласит, что порядок сложения чисел не имеет значения. Коммутативность алгебраически формулируется как. [24]

Упрощение выражений

Алгебраические выражения можно вычислять и упрощать, основываясь на основных свойствах арифметических операций ( сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень ). Например,

• Добавленные термины упрощаются с помощью коэффициентов. Например, можно упростить как (где 3 - числовой коэффициент).
• Умноженные члены упрощаются с помощью экспонент. Например, представлен как
• Подобные термины складываются вместе, [25] например, записывается как , потому что термины, содержащие складываются вместе, и термины, содержащие складываются вместе.
• Скобки можно «умножить», используя распределительное свойство . Например, можно записать как который можно записать как
• Выражения можно факторизовать. Например,, разделив оба члена на можно записать как

уравнения

Анимация, иллюстрирующая правило Пифагора для прямоугольного треугольника, которое показывает алгебраическое соотношение между гипотенузой треугольника и двумя другими сторонами.

Уравнение заявляет, что два выражения равны, используя символ равенства = ( знак равенства ). [26] Одно из самых известных уравнений описывает закон Пифагора, определяющий длину сторон прямоугольного треугольника: [27]

Это уравнение утверждает, что , представляющий квадрат длины стороны гипотенузы, стороны, противоположной прямому углу, равен сумме (сложению) квадратов двух других сторон, длины которых представлены буквами a и b .

Уравнение - это утверждение, что два выражения имеют одинаковое значение и равны. Некоторые уравнения верны для всех значений задействованных переменных (например,); такие уравнения называются тождествами . Условные уравнения верны только для некоторых значений задействованных переменных, например верно только для а также . Значения переменных, которые делают уравнение истинным, являются решениями уравнения и могут быть найдены путем решения уравнения .

Другой тип уравнения - неравенство. неравенства используются, чтобы показать, что одна сторона уравнения больше или меньше другой. Для этого используются следующие символы: где представляет собой "больше чем", а где представляет «меньше чем». Как и стандартные уравнения равенства, числа можно складывать, вычитать, умножать или делить. Единственное исключение - при умножении или делении на отрицательное число символ неравенства нужно переворачивать.

Свойства равенства

По определению, равенство является отношением эквивалентности , что означает, что оно обладает свойствами (а) рефлексивности (т.е.), (б) симметричный (т.е. если тогда ) (c) транзитивный (т.е. если а также тогда ). Об этом говорит сайт https://intellect.icu . [28] Он также удовлетворяет важному свойству: если два символа используются для одинаковых вещей, то один символ может быть заменен другим в любом истинном утверждении о первом, и это утверждение останется верным. Это подразумевает следующие свойства:

• если а также тогда а также ;
• если тогда а также ;
• в более общем смысле, для любой функции f , если тогда .

Свойства неравенства

Отношения менее и больше чем обладают свойством транзитивности: [29]

• Если а также тогда ;
• Если а также тогда ; [30]
• Если а также тогда ;
• Если а также тогда .

Изменяя неравенство, а также можно поменять местами, [31] например:

• эквивалентно

Замена Подстановка

Подстановка заменяет термины в выражении для создания нового выражения. Замена 3 на a в выражении a * 5 дает новое выражение 3 * 5 со значением 15 . Подстановка условий утверждения делает новое утверждение. Когда исходное утверждение истинно независимо от значений терминов, утверждение, созданное подстановками, также истинно. Следовательно, определения могут быть даны в символических терминах и интерпретироваться через замену: если подразумевается как определение как произведение a с самим собой, замена 3 на a сообщает читателю об этом утверждении, чтоозначает 3 × 3 = 9 . Часто неизвестно, верно ли утверждение независимо от значений терминов. И подстановка позволяет вывести ограничения на возможные значения или показать, при каких условиях выполняется утверждение. Например, взяв утверждение x + 1 = 0 , если x заменяется на 1 , это подразумевает 1 + 1 = 2 = 0 , что неверно, что означает, что если x + 1 = 0, то x не может быть 1 .

Если x и y - целые , рациональные или действительные числа , то xy = 0 влечет x = 0 или y = 0 . Рассмотрим abc = 0 . Тогда, подставляя для й и Ьса для у , мы узнаем , а = 0 или Ьс = 0 . Затем мы можем снова заменить, положив x = b и y = c , чтобы показать, что если bc= 0, то b = 0 или c = 0 . Следовательно, если abc = 0 , то a = 0 или ( b = 0 или c = 0 ), поэтому abc = 0 влечет a = 0, или b = 0, или c = 0 .

Если бы исходный факт был заявлен как « ab = 0 подразумевает a = 0 или b = 0 », то, говоря «рассмотрите abc = 0 », мы бы столкнулись с конфликтом терминов при замене. Тем не менее, приведенная выше логика все еще действительна, чтобы показать, что если abc = 0, то a = 0 или b = 0 или c = 0, если вместо того, чтобы позволить a = a и b = bc , заменить a на a и b на bc(и с Ьсом = 0 , подставляя Ь для и с для б ). Это показывает, что замена терминов в утверждении - не всегда то же самое, что приравнивание терминов из утверждения к заменяемым терминам. В этой ситуации ясно, что если мы подставим выражение a в член a исходного уравнения, подставляемое a не будет относиться к a в утверждении « ab = 0 подразумевает a = 0 или b = 0 ».

Решение алгебраических уравнений

Типичная задача алгебры.

В следующих разделах приведены примеры некоторых типов алгебраических уравнений, которые могут встретиться.

линейные уравнения с одной переменной

Линейные уравнения называются так называемыми, потому что при построении они описывают прямую линию. Простейшими уравнениями для решения являются линейные уравнения , в которых есть только одна переменная. Они содержат только постоянные числа и одну переменную без показателя степени. В качестве примера рассмотрим:

Задача на словах: если вы удвоите возраст ребенка и прибавите 4, получится 12. Сколько лет ребенку?

Эквивалентное уравнение: где x обозначает возраст ребенка

Для решения этого вида уравнения используется метод сложения, вычитания, умножения или деления обеих сторон уравнения на одно и то же число, чтобы изолировать переменную на одной стороне уравнения. Как только переменная изолирована, другая сторона уравнения - это значение переменной. [32] Эта проблема и ее решение следующие:

Решение для x

1. Уравнение для решения:
2. Вычтите 4 с обеих сторон:
3. Это упрощает:
4. Разделите обе части на 2:
5. Это упрощает решение:

На словах: ребенку 4 года.

Общий вид линейного уравнения с одной переменной может быть записан как:

Следуя той же процедуре (т.е. вычтите b из обеих частей, а затем разделите на a ), общее решение дается формулой

Линейные уравнения с двумя переменными

Решение двух линейных уравнений с единственным решением в точке их пересечения.

Линейное уравнение с двумя переменными имеет множество (т.е. бесконечное количество) решений. [33] Например:

Проблема на словах: отец на 22 года старше сына. Сколько им лет?

Эквивалентное уравнение: где y - возраст отца, x - возраст сына.

Это не может быть решено само по себе. Если бы возраст сына был известен, то больше не было бы двух неизвестных (переменных). Тогда задача превращается в линейное уравнение с одной переменной, которую можно решить, как описано выше.

Чтобы решить линейное уравнение с двумя переменными (неизвестными), требуются два связанных уравнения. Например, если также было выявлено, что:

Проблема на словах

Через 10 лет отец будет вдвое старше сына.

Эквивалентное уравнение

Теперь есть два связанных линейных уравнения, каждое с двумя неизвестными, что позволяет получить линейное уравнение только с одной переменной путем вычитания одного из другого (так называемый метод исключения): [34]

Другими словами, сыну 12 лет, а так как отец на 22 года старше, ему должно быть 34. Через 10 лет сыну будет 22, а отец будет вдвое старше его, 44 года. Эта проблема проиллюстрирована на рисунке связанный график уравнений.

О других способах решения таких уравнений см. Ниже, Система линейных уравнений .

квадратные уравнения

График квадратного уравнения показывая свои корни в а также , и что квадратичная функция может быть переписана как

Квадратное уравнение - это уравнение, которое включает член с показателем степени 2, например, , [35] и нет члена с большей степенью. Название происходит от латинского quadrus , что означает квадрат. [36] В общем случае квадратное уравнение можно выразить в виде, [37] где a не равно нулю (если бы оно было равно нулю, то уравнение было бы не квадратичным, а линейным). По этой причине квадратное уравнение должно содержать член, который известен как квадратичный член. Следовательно, и поэтому мы можем разделить на a и преобразовать уравнение в стандартную форму

где а также . Решение этой проблемы с помощью процесса, известного как завершение квадрата , приводит к квадратной формуле

где символ "±" означает, что оба

являются решениями квадратного уравнения.

Квадратные уравнения также могут быть решены с использованием факторизации (обратный процесс - разложение , но для двух линейных членов иногда обозначается фольгированием ). В качестве примера факторинга:

что то же самое, что

Из свойства нулевого произведения следует, что либо или являются решениями, поскольку ровно один из множителей должен быть равен нулю . Все квадратные уравнения будут иметь два решения в комплексной системе счисления, но не обязательно в действительной системе счисления. Например,

не имеет решения в виде действительного числа, поскольку никакой квадрат действительного числа не равен −1. Иногда квадратное уравнение имеет корень кратности 2, например:

Для этого уравнения −1 является корнем из кратности 2. Это означает, что −1 появляется дважды, так как уравнение можно переписать в факторизованной форме как

Комплексные числа

Все квадратные уравнения имеют ровно два решения в комплексных числах (но они могут быть равны друг другу), категория, которая включает действительные числа , мнимые числа и суммы действительных и мнимых чисел. Комплексные числа впервые возникают при обучении квадратным уравнениям и квадратным формулам. Например, квадратное уравнение

есть решения

поскольку не является действительным числом, оба решения для x являются комплексными числами.

Экспоненциальные и логарифмические уравнения

График логарифма к основанию 2 пересекает й ось (горизонтальная ось) в 1 и проходит через точку с координатами (2, 1) , (4, 2) , и (8, 3) . Например, log 2 (8) = 3 , потому что 2 3 = 8. График произвольно приближается к оси y , но не пересекает ее .

Экспоненциальное уравнение - это уравнение, которое имеет вид за , [38] имеющее решение

когда . Элементарные алгебраические методы используются, чтобы переписать данное уравнение указанным выше способом, прежде чем прийти к решению. Например, если

затем, вычитая 1 из обеих частей уравнения, а затем разделив обе части на 3, получим

откуда

или

Логарифмическое уравнение - это уравнение вида за , который имеет решение

Например, если

затем, добавив 2 к обеим частям уравнения, а затем разделив обе части на 4, мы получим

откуда

откуда получаем

радикальные уравнения

Радикальное уравнение, показывающее два способа представления одного и того же выражения. Тройная полоса означает, что уравнение верно для всех значений x.

Радикальное уравнение - это уравнение, которое включает знак радикала, который включает квадратные корни , кубические корни ,, и корни n- й степени ,. Напомним, что корень n- й степени можно переписать в экспоненциальном формате, чтобы эквивалентно . В сочетании с регулярными показателями (степенями), то (квадратный корень из куба x ), можно переписать как. [39] Итак, обычная форма радикального уравнения (эквивалентно ) где m и n - целые числа . У него есть реальное решение (я):

n нечетное	n четное и	п и т являются даже и	п четно, т нечетно , и
эквивалентно	эквивалентно		нет реального решения

Например, если:

тогда

и поэтому

Система линейных уравнений

Существуют разные методы решения системы линейных уравнений с двумя переменными.

Метод устранения

Набор решений для уравнений а также - единственная точка (2, 3).

Пример решения системы линейных уравнений - использование метода исключения:

Умножив члены во втором уравнении на 2:

Сложив два уравнения вместе, мы получим:

что упрощает

Поскольку тот факт, что известно, тогда можно сделать вывод, что любым из двух исходных уравнений (используя 2 вместо x ). Полное решение этой проблемы тогда

Это не единственный способ решить эту конкретную систему; y мог быть разрешен до x .

Метод подстановки

Другой способ решения той же системы линейных уравнений - подстановка.

Эквивалент для y можно вывести с помощью одного из двух уравнений. Используя второе уравнение:

Вычитание с каждой стороны уравнения:

и умножив на -1:

Используя это значение y в первом уравнении исходной системы:

Добавляем по 2 с каждой стороны уравнения:

что упрощает

Используя это значение в одном из уравнений, получается то же решение, что и в предыдущем методе.

Это не единственный способ решить эту конкретную систему; и в этом случае y могло быть решено до x .

Другие типы систем линейных уравнений

Несогласованные системы

Уравнения а также параллельны, не могут пересекаться и неразрешимы.

График квадратного уравнения (красный) и линейного уравнения (синий), которые не пересекаются и, следовательно, для которых нет общего решения.

В приведенном выше примере решение существует. Однако есть и системы уравнений, не имеющие решения. Такая система называется несовместимой . Очевидный пример:

При 0 ≠ 2 второе уравнение системы не имеет решения. Следовательно, у системы нет решения. Однако не все несовместимые системы распознаются с первого взгляда. В качестве примера рассмотрим систему

Умножение на 2 обеих частей второго уравнения и прибавление их к первому дает

который явно не имеет решения.

Неопределенные системы

Существуют также системы, которые имеют бесконечно много решений, в отличие от системы с уникальным решением (то есть уникальной парой значений для x и y ). Например:

Выделение y во втором уравнении:

И используя это значение в первом уравнении системы:

Равенство верно, но оно не дает значения для x . В самом деле, можно легко проверить (просто подставив некоторые значения x ), что для любого x существует решение, пока. Для этой системы существует бесконечное множество решений.

Сверх- и недоопределенные системы

Системы с большим количеством переменных, чем количество линейных уравнений, называются недоопределенными . Такая система, если у нее есть какие-то решения, не однозначна, а бесконечна. Пример такой системы:

Пытаясь решить эту проблему, один вынужден выразить некоторые переменные как функции других, если существуют какие-либо решения, но не может выразить все решения в числовом виде, потому что их бесконечное количество, если они есть.

Система с большим числом уравнений, чем количество переменных, называется переопределенной . Если переопределенная система имеет какие-либо решения, обязательно некоторые уравнения являются линейными комбинациями других.

См. Также

• История элементарной алгебры
• Бинарная операция
• Гауссово исключение
• Математическое образование
• Числовая строка
• Полиномиальный
• Логарифм
• Проблема алгебры средней школы Тарского

Исследование, описанное в статье про уравнения , подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое уравнения , неравенства, переменные, выражения, алгебраические обозначения, радикальные уравнения, экспоненциальные уравнения , логарифмические уравнения, квадратные уравнения , линейные уравнения, система линейных уравнений . и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Алгебра