Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое гипероператор , Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое гипероператор , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Алгебра.
В математике гипероператор — это обобщение традиционных операторов (арифметических операций сложения, умножения и возведения в степень, рассматриваемых как гипероператоры 1-го, 2-го и 3-го порядка соответственно), на высшие порядки. В общем случае, из-за некоммутативности гипеоператор имеет две обратные функции — гиперкорень (например Суперкорень для 4-го порядка) и гиперлогарифм (Суперлогарифм).
В 1928 году ученик Давида Гильберта, математик Вильгельм Аккерман опубликовал в качестве примера всюду определенной, не являющейся примитивно рекурсивной вычислимой функцию от трех аргументов 
, такую, что для 
она определяла операции сложения, умножения и возведения в степень соответственно:
;
;
.
С 1976 года, после публикации стрелочной нотации Кнута, оригинальную функцию Аккермана стало возможным записать в более удобном виде:
.[1]
Помимо ее исторической роли как первой всюду определенной не примитивно рекурсивной вычислимой функции, оригинальная функция Аккермана расширяла основные арифметические операции за возведение в степень, хотя и не так хорошо, как специально предназначенные для этого функции вроде последовательности гипероператоров Гудстейна.[2]
Гипероператор порядка 
с аргументами 
и 
(далее обозначаемый как 
) рекурсивно определяется как результат многократного применения гипероператора порядка 
к последовательности из одинаковых аргументов, (начиная с умножения, каждый из которых равен ):
и — увеличение числа на количество единиц, равное 
на — сложение числа с самим собой раз: 
на само себя раз 
В последнем выражении операции выполняются справа налево, что является существенным, так как гипероператоры порядка {\displaystyle n>2}
не являются ни коммутативными, ни ассоциативными. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Гипероператоры 4-го, 5-го и 6-го порядка называются «тетра́ция», «пента́ция» и «гекса́ция» соответственно.
В простейшем случае значения переменных , и {\displaystyle n} ограничиваются натуральными числами. Возможные обобщения гипероператоров 
на произвольные действительные или комплексные числа пока мало изучены.
Разные математики обозначают гипероператоры по-разному:
;
.В итоге получаем: 
Обобщение первых трех операций (сложение, умножение, возведение в степень) в инфиксной форме имеет вид:
Тогда гипероператор определяется как 
Распишем для первых натуральных четырех n:
Как уже говорилось выше, в силу некоммутативности (в общем случае) гипероператор имеет две обратные функции — гиперкорень и гиперлогарифм.
В силу коммутативности, гиперкорень и гиперлогарифм сложения совпадают и образуют вместе обратную операцию сложения — вычитание.
Точно так же совпадают обратные операции умножения, образуя одну обратную операцию умножения — деление.
Уже для возведения в степень обратные функции становятся различными (корень и логарифм).
Обратные операции обобщаются для гипероператора любого порядка.
Альтернативная операция может быть получена путем вычисления слева направо и в силу коммутативности и ассоциативности операций сложения и умножения эта операция совпадает с Гипероператором при 
:
Для гипероператора вычисление слева направо (то есть альтернативная операция) отличается от гипероператора и проводит к другому результату, например, для 
получим гипероператор тетрацию: 
.
Но вычисление степенной башни слева направо приведет к неверному итогу: 
.
Исследование, описанное в статье про гипероператор , подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое гипероператор и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Алгебра
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про гипероператор
Комментарии
Оставить комментарий
Алгебра
Термины: Алгебра