Возведение комплексного числа в целую степень - пример кратко

Привет, сегодня поговорим про возведение комплексного числа в целую степень, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое возведение комплексного числа в целую степень , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Алгебра.

Пусть дано комплексное число . Для возведения комплексного числа в натуральную степень нужно возвести в эту степень его модуль, а аргумент умножить на показатель степени. Это правило известно в математике как формула Муавра:

Возводить в натуральную степень nn, если она достаточно велика, комплексные числа проще всего в тригонометрической форме, то есть если число z=a+biz=a+bi задано в алгебраической форме, то его изначально надо записать в тригонометрической.

Пусть число z=|z|(cosϕ+isinϕ)z=|z|(cos⁡ϕ+isin⁡ϕ), тогда умножая его само на себя nn раз (что эквивалентно тому, что мы его возводим в степень nn), получим:

zn=(|z|(cosϕ+isinϕ))n=|z|n(cosnϕ+isinnϕ)zn=(|z|(cos⁡ϕ+isin⁡ϕ))n=|z|n(cos⁡nϕ+isin⁡nϕ)

Таким образом, модуль степени комплексного числа равен той же степени модуля основания, а аргумент равен аргументу основания, умноженному на показатель степени.

Если |z|=1|z|=1, то получаем, что

zn=(cosϕ+isinϕ)n=cosnϕ+isinnϕzn=(cos⁡ϕ+isin⁡ϕ)n=cos⁡nϕ+isin⁡nϕ

Данная формула называется формулой Муавра (Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик).

Какое назначение комплексных чисел и операций над ними?
Ответ: используется в некоторых областях науки.
В физике в квантовой механике есть такое понятие как волновая функция, которая сама по себе комплекснозначна.
В электротехнике комплексные числа нашли себя в качестве удобной замены дифурам, которые неизбежно возникают при решении задач с линейными цепями переменного тока.
В теореме Жуковского (подъемная сила крыла) тоже используются комплексные числа.
А еще в биологии, медицине, экономике и еще много где.

пример

Я что-то не договорил про возведение комплексного числа в целую степень, тогда сделай замечание в комментариях Надеюсь, что теперь ты понял что такое возведение комплексного числа в целую степень и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Алгебра