Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

Алгебра и ее разделы

Лекция



Привет, Вы узнаете о том , что такое Алгебра и ее разделы, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое Алгебра и ее разделы , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Алгебра.

Алгебра (от араб. اَلْجَبْرُ‎ аль-джабр «восполнение» ) — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики; в этом разделе числа и другие математические объекты обозначаются буквами и другими символами, что позволяет записывать и исследовать их свойства в самом общем виде. Слово «алгебра» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвященный изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.

Классификация

Алгебра как раздел математики традиционно включает следующие категории.

  • Элементарная алгебра, которая изучает свойства операций с вещественными числами. В ней постоянные и переменные обозначаются буквенными символами. Элементарная алгебра содержит правила преобразования алгебраических выражений и уравнений с использованием этих символов. Обычно преподается в школе под названием алгебра.
  • Общая алгебра, иногда называемая современной алгеброй или абстрактной алгеброй, где аксиоматизируются и изучаются максимально общие алгебраические структуры, такие, как группы, кольца и поля.
  • Универсальная алгебра, в которой изучаются свойства, общие для всех алгебраических структур (считается подразделом общей алгебры).
  • Линейная алгебра, в которой изучаются свойства векторных пространств (включая матрицы).
  • Алгебраическая комбинаторика, в которой методы абстрактной алгебры используются для изучения вопросов комбинаторики.

Элементарная алгебра

Алгебра и ее разделы

Формула корней квадратного уравнения выражает решение уравнения второй степени Алгебра и ее разделы через его коэффициенты Алгебра и ее разделы, где Алгебра и ее разделы не равно нулю.

Элементарная алгебра — раздел алгебры, который изучает самые базовые понятия. Обычно изучается после изучения основных понятий арифметики. В арифметике изучаются числа и простейшие (+, −, ×, ÷) действия с ними. В алгебре числа заменяются на переменные (Алгебра и ее разделы и так далее). Такой подход полезен, потому что:

  • Позволяет получить общее представление законов арифметики (например, Алгебра и ее разделы для любых Алгебра и ее разделы и Алгебра и ее разделы), что является первым шагом к систематическому изучению свойств действительных чисел.
  • Позволяет ввести понятие «неизвестного», сформулировать уравнения и изучать способы их решения. (Для примера, «Найти число x, такое что Алгебра и ее разделы» или, в более общем случае, «Найти число x, такое, что Алгебра и ее разделы». Это приводит к выводу, что нахождение значения переменной кроется не в природе чисел из уравнения, а в операциях между ними.)
  • Позволяет сформулировать понятие функции. (Для примера, «Если вы продали Алгебра и ее разделы билетов, то ваша прибыль составит Алгебра и ее разделы рублей, или Алгебра и ее разделы, где Алгебра и ее разделы — функция, и Алгебра и ее разделы — число, от которого зависит функция»)

Линейная алгебра

Линейная алгебра — часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. К линейной алгебре также относят теорию определителей, теорию матриц, теорию форм (например, квадратичных), теорию инвариантов (частично), тензорное исчисление (частично). Современная линейная алгебра делает акцент на изучении векторных пространств.

Линейное, или векторное пространство Алгебра и ее разделы над полем Алгебра и ее разделы — это упорядоченная четверка Алгебра и ее разделы, где

Алгебра и ее разделы — непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами;

Алгебра и ее разделы — (алгебраическое) поле, элементы которого называются скалярами;

Алгебра и ее разделы — операция сложения векторов, сопоставляющая каждой паре элементов Алгебра и ее разделы множества Алгебра и ее разделы единственный элемент множества Алгебра и ее разделы, обозначаемый Алгебра и ее разделы;

Алгебра и ее разделы — операция умножения векторов на скаляры, сопоставляющая каждому элементу Алгебра и ее разделы поля Алгебра и ее разделы и каждому элементу Алгебра и ее разделы множества Алгебра и ее разделы единственный элемент множества Алгебра и ее разделы, обозначаемый Алгебра и ее разделы;

причем заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

  1. Алгебра и ее разделы, для любых Алгебра и ее разделы (коммутативность сложения);
  2. Алгебра и ее разделы, для любых Алгебра и ее разделы (ассоциативность сложения);
  3. существует такой элемент Алгебра и ее разделы, что Алгебра и ее разделы для любого Алгебра и ее разделы (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности Алгебра и ее разделы не пусто;
  4. для любого Алгебра и ее разделы существует такой элемент Алгебра и ее разделы, что Алгебра и ее разделы (существование противоположного элемента относительно сложения).
  5. Алгебра и ее разделы (ассоциативность умножения на скаляр);
  6. Алгебра и ее разделы (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор).
  7. Алгебра и ее разделы (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
  8. Алгебра и ее разделы(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Евклидовы пространства, аффинные пространства, а также многие другие пространства, изучаемые в геометрии, определяются на основе векторного пространства. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Автоморфизмы векторного пространства над полем образуют группу относительно умножения, изоморфную группе невырожденных квадратных матриц, что связывает линейную алгебру с теорией групп, в частности, с теорией линейных представлений групп.

Переход от используемых в линейной алгебре n-мерных векторных пространств к бесконечномерным линейным пространствам нашел свое отражение в некоторых разделах функционального анализа . Другим естественным обобщением является использование не поля, а произвольного кольца. Для модуля над произвольным кольцом не выполняются основные теоремы линейной алгебры. Общие свойства векторных пространств над полем и модулей над кольцом изучаются в алгебраической К-теории .

Общая алгебра

Общая алгебра занимается изучением различных алгебраических систем. В ней рассматриваются свойства операций над объектами независимо от собственно природы объектов. Она включает в себя в первую очередь теории групп и колец. Общие свойства, характерные для обоих видов алгебраических систем, привели к рассмотрению новых алгебраических систем: решеток, категорий, универсальных алгебр, моделей, полугрупп и квазигрупп. Упорядоченные и топологические алгебры, частично упорядоченные и топологические группы и кольца, также относятся к общей алгебре.

Точная граница общей алгебры не определена. К ней можно также отнести теорию полей, конечных групп, конечномерных алгебр Ли.

Теория групп

Непустое множество Алгебра и ее разделы с заданной на нем бинарной операцией Алгебра и ее разделы называется группой Алгебра и ее разделы, если выполнены следующие аксиомы:

  1. ассоциативность: Алгебра и ее разделы;
  2. наличие нейтрального элемента: Алгебра и ее разделы;
  3. наличие обратного элемента: Алгебра и ее разделы

Алгебра и ее разделы

Граф свободной группы порядка 2

Понятие группы возникло в результате формального описания симметрии и эквивалентности геометрических объектов. В теории Галуа, которая и дала начало понятию группы, группы используются для описания симметрии уравнений, корнями которых являются корни некоторого полиномиального уравнения. Группы повсеместно используются в математике и естественных науках, часто для обнаружения внутренней симметрии объектов (группы автоморфизмов). Почти все структуры общей алгебры — частные случаи групп.

Теория колец

Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:

  1. Алгебра и ее разделы — коммутативность сложения;
  2. Алгебра и ее разделы — ассоциативность сложения;
  3. Алгебра и ее разделы — существование нейтрального элемента относительно сложения;
  4. Алгебра и ее разделы — существование противоположного элемента относительно сложения;
  5. Алгебра и ее разделы — ассоциативность умножения (некоторые авторы не требуют выполнения этой аксиомы )
  6. Алгебра и ее разделы — дистрибутивность.

Универсальная алгебра

Универсальная алгебра является специальным разделом общей алгебры, который занимается изучением характерных для всех алгебраических систем свойств. Алгебраическая система представляет собой произвольное непустое множество с заданным (возможно, бесконечным) набором конечноарных операций над ним и конечноарных отношений: Алгебра и ее разделы, Алгебра и ее разделы, Алгебра и ее разделы. Множество Алгебра и ее разделы в этом случае называется носителем (или основным множеством) системы, набор функциональных и предикатных символов с их арностями Алгебра и ее разделы — ее сигнатурой. Система с пустым множеством отношений называется универсальной алгеброй (в контексте предмета — чаще просто алгеброй), а с пустым множеством операций — моделью или системой отношений, реляционной системой.

В терминах универсальной алгебры, например, кольцо — это универсальная алгебра Алгебра и ее разделы, такая, что алгебра Алгебра и ее разделы — абелева группа, и операция Алгебра и ее разделы дистрибутивна слева и справа относительно Алгебра и ее разделы. Кольцо называется ассоциативным, если мультипликативный группоид является полугруппой.

Раздел рассматривает как собственно универсальные алгебры, так и сопутствующие структуры: моноид всех эндоморфизмов Алгебра и ее разделы, группа всех автоморфизмов Алгебра и ее разделы, решетки всех подалгебр Алгебра и ее разделы и всех конгруэнций Алгебра и ее разделы

Универсальная алгебра находится на стыке логики и алгебры.

Исторический очерк

Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности. Арифметические действия над натуральными числами и дробями — простейшие алгебраические операции — встречаются в ранних математических текстах. Еще в 1650 году до н. э. египетские писцы могли решать отвлеченные уравнения первой степени и простейшие уравнения второй степени, к ним относятся задачи 26 и 33 из папируса Ринда и задача 6 из Московского папируса (так называемые задачи на «аха»). Предполагается, что решение задач было основано на правиле ложного положения . Это же правило, правда, крайне редко, использовали вавилоняне.

Вавилонские математики умели решать квадратные уравнения. Они имели дело только с положительными коэффициентами и корнями уравнения, так как не знали отрицательных чисел. По разным реконструкциям в Вавилоне знали либо правило для квадрата суммы, либо правило для произведения суммы и разности, вместе с тем метод вычисления корня полностью соответствует современной формуле. Встречаются и уравнения третьей степени. Кроме того, в Вавилоне была введена особая терминология, использовались шумерские клинописные знаки для обозначения первого неизвестного («длины»), второго неизвестного («ширины»), третьего неизвестного («глубины»), а также различных производных величин («поля» как произведения «длины» и «ширины», «объема» как произведения «длины», «ширины» и «глубины»), которые можно считать математическими символами, так как в обычной речи уже использовался аккадский язык. Несмотря на явное геометрическое происхождение задач и терминов, использовались они отвлеченно, в частности, «площадь» и «длина» считались однородными. Для решения квадратных уравнений было необходимо уметь осуществлять различные тождественные алгебраические преобразования, оперировать неизвестными величинами. Таким образом был выделен целый класс задач, для решения которых необходимо пользоваться алгебраическими приемами.

После того как была открыта несоизмеримость стороны и диагонали квадрата, греческая математика переживала кризис, разрешению которого способствовал выбор геометрии как основы математики и определение алгебраических операций для геометрических величин. Геометрической алгебре посвящена вторая книга «Начал» Евклида, работы Архимеда и Аполлония. С использованием отрезков, прямоугольников и параллелепипедов были определены сложение и вычитание, произведение (построенный на двух отрезках прямоугольник). Такое представление позволило доказать дистрибутивный закон умножения относительно сложения, тождество для квадрата суммы. Алгебра первоначально была основана на планиметрии и приспособлена в первую очередь для решения квадратных уравнений[12]. Вместе с тем к алгебраическим уравнениям сводятся сформулированные пифагорейцами задачи об удвоении куба и трисекции угла, построение правильных многоугольников[13]. Решение кубических уравнений получило свое развитие в работах Архимеда (сочинения «О шаре и цилиндре» и «О коноидах и сфероидах»), который исследовал в общем виде уравнение Алгебра и ее разделы. Отдельные задачи решались с помощью конических сечений.

Неожиданный переход к алгебре, основанной на арифметике, произошел в работах Диофанта, который ввел буквенные обозначения: неизвестное число он назвал «число», вторую степень неизвестного — «квадрат», третью — «куб», четвертую — «квадрато-квадрат», пятую — «квадрато-куб», шестую — «кубо-куб». Также он ввел обозначения для отрицательных степеней, свободного члена, отрицательного числа (или вычитания) и знака равенства. Диофант знал и использовал правило переноса вычитаемого из одной части уравнения в другую и правило сокращения равных членов. Исследуя уравнения третьей и четвертой степеней, Диофант для нахождения рациональной точки на кривой использует такие методы геометрической алгебры, как провести касательную в рациональной точке кривой или провести прямую через две рациональные точки. В X веке «Арифметика» Диофанта, в которой он изложил свои методы, была переведена на арабский язык, а в XVI веке достигла Западной Европы, оказав влияние на работы Ферма и Виета. Идеи Диофанта можно заметить также в работах Эйлера, Якоби, Пуанкаре и других математиков вплоть до начала XX века. В настоящее время проблемы Диофанта принято относить к алгебраической геометрии[.

За 2000 лет до нашего времени китайские ученые решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения (см. Математика в девяти книгах). Они уже знали отрицательные и иррациональные числа. Поскольку в китайском языке каждый символ обозначает понятие, то сокращений не было. В XIII веке китайцы открыли закон образования биномиальных коэффициентов, ныне известный как «треугольник Паскаля». В Европе он был открыт лишь 250 лет спустя

Алгебра и ее разделы

Страница из Аль-Хорезми Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала

Термин «алгебра» взят из сочинения среднеазиатского ученого Аль-Хорезми «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы» (825 год). Слово «аль-джабр» при этом означало операцию переноса вычитаемых из одной части уравнения в другую и его буквальный смысл «восполнение».

В XII веке алгебра попала в Европу. С этого времени начинается ее бурное развитие. Были открыты способы решения уравнений 3 и 4 степеней. Распространение получили отрицательные и комплексные числа. Было доказано, что любое уравнение выше 4 степени нельзя решить алгебраическим способом.

Вплоть до второй половины XX века практическое применение алгебры ограничивалось, в основном, решением алгебраических уравнений и систем уравнений с несколькими переменными. Во второй половине XX века началось бурное развитие ряда новых отраслей техники. Появились электронно-вычислительные машины, устройства для хранения, переработки и передачи информации, системы наблюдения типа радара. Проектирование новых видов техники и их использование немыслимо без применения современной алгебры. Так, электронно-вычислительные машины устроены по принципу конечных автоматов. Для проектирования электронно-вычислительных машин и электронных схем используются методы булевой алгебры. Современные языки программирования для ЭВМ основаны на принципах теории алгоритмов. Теория множеств используется в системах компьютерного поиска и хранения информации. Теория категорий используется в задачах распознавания образов, определении семантики языков программирования, и других практических задачах. Кодирование и декодирование информации производится методами теории групп. Теория рекуррентных последовательностей используется в работе радаров. Экономические расчеты невозможны без использования теории графов. Математическое моделирование широко использует все разделы алгебры.

В России одним из популяризаторов алгебры был первый русский писатель европейского типа князь А. Д. Кантемир. Он употребил этот термин в своей первой сатире (1729) и дал ему такое определение: «Алгебра есть часть математики весьма трудная, но и преполезная, понеже служит в решении труднейших задач всея математики. Можно назвать ее генеральною арифметикою, понеже части их по большей мере между собою сходны, только что арифметика употребляет для всякого числа особливые знаки, а алгебра генеральные, которые всякому числу служат. Наука сия, сказывают, в Европу пришла от арап, которых мнят быть ея изобретательми; имя самое алгебры есть арапское, которые ее называют Алжабр Валмукабала, то есть наверстать или соравнять».

См также

  • Элементарная алгебра
  • Универсальная алгебра
  • Теория групп
  • Теория колец
  • Линейная алгебра
  • Общая алгебра

Исследование, описанное в статье про Алгебра и ее разделы, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое Алгебра и ее разделы и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Алгебра

создано: 2020-10-05
обновлено: 2021-03-13
132265



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Алгебра

Термины: Алгебра