Алгебра Кэли (октонионы или октавы)

Сразу хочу сказать, что здесь никакой воды про алгебра кэли октонионы или октавы , и только нужная информация. Для того чтобы лучше понимать что такое алгебра кэли октонионы или октавы , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Алгебра.

. Об этом говорит сайт https://intellect.icu

А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается , поскольку ее элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами.

Число Кэли — это линейная комбинация элементов . Каждая октава x может быть записана в форме

с вещественными коэффициентами . Октонионы находят применение в физике: например, в СТО и теории струн^[1]. Таблица умножения элементов октавы:

1	i (e1)	j (e2)	k (e3)	l (e4)	il (e5)	jl (e6)	kl (e7)
i (e1)	−1	k	−j	il	−l	−kl	jl
j (e2)	−k	−1	i	jl	kl	−l	−il
k (e3)	j	−i	−1	kl	−jl	il	−l
l (e4)	−il	−jl	−kl	−1	i	j	k
il (e5)	l	−kl	jl	−i	−1	−k	j
jl (e6)	kl	l	−il	−j	k	−1	−i
kl (e7)	−jl	il	l	−k	−j	i	−1

Таблица (Кэли) умножения октонионов^[2]

e0	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
e1	-1	e3	−e2	e5	−e4	−e7	e6
e2	−e3	-1	e1	e6	e7	−e4	−e5
e3	e2	−e1	-1	e7	−e6	e5	−e4
e4	−e5	−e6	−e7	-1	e1	e2	e3
e5	e4	−e7	e6	−e1	-1	−e3	e2
e6	e7	e4	−e5	−e2	e3	-1	−e1
e7	−e6	e5	e4	−e3	−e2	e1	-1

Часто числа могут заменяться буквенным обозначением:

Число	1	2	3	4	5	6	7
Буквы	i	j	k	l	il	jl	kl
Замена	i	j	k	l	m	n	o

 

 

Свойства

• По теореме Фробениуса, алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля.
• Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но неассоциативной и некоммутативной.

Сопряжение и норма

Пусть дан октонион

Операция сопряжения октониона  определена равенством

Операция сопряжения удовлетворяет равенствам

Вещественная часть октониона  определена равенством

и мнимая часть октониона  определена равенством

Норма октониона  определена равенством

.

Легко убедиться, что норма неотрицательное вещественное число

Следовательно,  тогда и только тогда, когда .

Из определения нормы следует, что октонион  обратим и

История

Впервые рассмотрена в 1843 Грейвсом, приятелем^[3] Гамильтона, а двумя годами позже независимо Кэли.

Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про алгебра кэли октонионы или октавы Надеюсь, что теперь ты понял что такое алгебра кэли октонионы или октавы и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Алгебра

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про алгебра кэли октонионы или октавы