Гипероператор и Гипероперация - определение, обратные операции и области применения

Привет, Вы узнаете о том , что такое гипероператор, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое гипероператор, гипероперация , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Алгебра.

В математике гипероператор — это обобщение традиционных операторов (арифметических операций сложения, умножения и возведения в степень, рассматриваемых как гипероператоры 1-го, 2-го и 3-го порядка соответственно), на высшие порядки. В общем случае, из-за некоммутативности гипеоператор имеет две обратные функции — гиперкорень (например Суперкорень для 4-го порядка) и гиперлогарифм (Суперлогарифм).

Пример

tetration 3^^2 online

калькулятор тетрации

Гипероператор — это общее понятие, которое охватывает ряд операций, являющихся обобщениями элементарных арифметических операций (сложение, умножение, возведение в степень и т.д.). Основная последовательность гипероператоров начинается со следующих операций:

1. h₁(a, b) = a + b (сложение),
2. h₂(a, b) = a × b (умножение),
3. h₃(a, b) = a^b (возведение в степень),
4. h₄(a, b) — это тетрация (повторное возведение в степень),
5. h₅(a, b) — пентация, и так далее.

Каждый следующий гипероператор можно рассматривать как повторение предыдущего. Например, пентация — это повторение тетрации, где в качестве показателя степени используется значение второго аргумента.

Эта последовательность позволяет определять более высокоуровневые операции, которые применяются в математике для работы с большими числами и исследований в области теории вычислений, рекурсивных функций и других дисциплин.

История

В 1928 году ученик Давида Гильберта, математик Вильгельм Аккерман опубликовал в качестве примера всюду определенной, не являющейся примитивно рекурсивной вычислимой функцию от трех аргументов , такую, что для она определяла операции сложения, умножения и возведения в степень соответственно:

;

;

.

С 1976 года, после публикации стрелочной нотации Кнута, оригинальную функцию Аккермана стало возможным записать в более удобном виде:

.

Помимо ее исторической роли как первой всюду определенной не примитивно рекурсивной вычислимой функции, оригинальная функция Аккермана расширяла основные арифметические операции за возведение в степень, хотя и не так хорошо, как специально предназначенные для этого функции вроде последовательности гипероператоров Гудстейна.

Определение

Гипероператор порядка с аргументами и (далее обозначаемый как ) рекурсивно определяется как результат многократного применения гипероператора порядка к последовательности из одинаковых аргументов, (начиная с умножения, каждый из которых равен ):

• сложение и — увеличение числа на количество единиц, равное

• умножение на — сложение числа с самим собой раз:
• возведение a в степень b — умножение числа на само себя раз
• 
• 

В последнем выражении операции выполняются справа налево, что является существенным, так как гипероператоры порядка {\displaystyle n>2} не являются ни коммутативными, ни ассоциативными. Гипероператоры 4-го, 5-го и 6-го порядка называются «тетра́ция», «пента́ция» и «гекса́ция» соответственно.

В простейшем случае значения переменных , и {\displaystyle n} ограничиваются натуральными числами. Возможные обобщения гипероператоров на произвольные действительные или комплексные числа пока мало изучены.

Разные математики обозначают гипероператоры по-разному:

• Кнут использует стрелки ;
• Конвей использует стрелки .

В итоге получаем:

Обобщение первых трех операций (сложение, умножение, возведение в степень) в инфиксной форме имеет вид:

Тогда гипероператор определяется как

Распишем для первых натуральных четырех n:

Обратные операции

Как уже говорилось выше, в силу некоммутативности (в общем случае) гипероператор имеет две обратные функции — гиперкорень и гиперлогарифм.

В силу коммутативности, гиперкорень и гиперлогарифм сложения совпадают и образуют вместе обратную операцию сложения — вычитание.

Точно так же совпадают обратные операции умножения, образуя одну обратную операцию умножения — деление.

Уже для возведения в степень обратные функции становятся различными (корень и логарифм).

Обратные операции обобщаются для гипероператора любого порядка.

Альтернативные операции

Вычисление слева направо

Альтернативная операция может быть получена путем вычисления слева направо и в силу коммутативности и ассоциативности операций сложения и умножения эта операция совпадает с Гипероператором при :

Для гипероператора вычисление слева направо (то есть альтернативная операция) отличается от гипероператора и проводит к другому результату, например, для получим гипероператор тетрацию: .

Но вычисление степенной башни слева направо приведет к неверному итогу: .

Expansion (расширение )как имя функции для {a,b,1,2} ≈ f _ω+1 (b). Это имя было определено Джонатаном Бауэрсом на его странице о функции Exploding Array примерно в 2008 году. К сожалению, однако, такого имени для f _ω (n) не существует. На этой странице я стремлюсь создать непрерывную систему имен, чтобы заполнить этот пробел и продолжить.

Расширение относится к двоичной функции , где есть буквы b от центра наружу. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . ЭтоВ BEAF и a {X+1} b в гиперэкспоненциальной нотации X-последовательности . Запись a { c } b означает { a , b , c }, что представляет собой " c + 2 "-умножение на b с помощью оператора квадратных скобок.

Ниже представлен полный список имен функций для системы имен, связанной с гипероператорами.
Используемая нотация массивов — нотация массивов Бауэрс.
Существующие имена, созданные Джонатаном Бауэрсом, будут выделены синим цветом .
Существующие имена, созданные Сбиисом Сайбианом, будут выделены зеленым цветом .
Существующие имена, созданные Арексом Тиаохиао, будут выделены красным цветом .

Гипероператоры являются продолжением математических операторов после стандартного сложения, умножения и возведения в степень. Наиболее известным из них является тетрация , хотя список продолжается пенцией, гексацией и так далее. Эти операторы примерно соответствуют n{a}m, где {a} относится к стрелкам вверх, или приблизительно f _a (n) в быстрорастущей иерархии , или {n,m,a} в нотации массивов . Естественным следующим шагом, если вы намерены превзойти предел списка гипероператоров, является рекурсия по нему. Это приводит нас к чему-то вроде n{n}n, где используемый гипероператор увеличивается с увеличением n. Такая функция эквивалентна {n,n,n} в нотации массивов и примерно эквивалентна f _ω (n) в FGH.

В викки указано расширение как имя функции для {a,b,1,2} ≈ f _ω+1 (b). Это имя было определено Джонатаном Бауэрсом на его странице о функции Exploding Array примерно в 2008 году. К сожалению, однако, такого имени для f _ω (n) не существует. На этой странице я стремлюсь создать непрерывную систему имен, чтобы заполнить этот пробел и продолжить.

Раздел 2: Базовая система

Поскольку первая рекурсия по существующим именованным гипероператорам происходит при f _ω (n), было бы справедливо назвать это мегацией (от «omega»). Я знаю, что это слово уже используется для обозначения некоторых других конкретных вещей, но они, похоже, узкоспециализированы. Я также понимаю, что это звучит несколько глупо. Это не значит, что я собираюсь это менять.

Точное определение мегации следующее: a, мегатированное до b = {a,a,b} в нотации массива. Это дает ему соответствующую скорость роста f _ω (n). Префиксная версия мегации — мега-, которая будет полезна для более высоких скоростей роста. Следующая скорость роста — расширение, или {a,b,1,2} ≈ f _ω+1 (n). В моей системе это называется мегасложением. После этого следует мегаумножение ({a,b,2,2} ≈ f _ω+2 (n)), затем мегавозведение в степень ({a,b,3,2} ≈ f _ω+3 (n)) и так далее. Это также можно рекурсивно применить к дуомегации (мегации с приставкой дуо-), что равно {a,a,b,2} ≈ f _ω2 (n). Бауэрс определяет {a,b,1,3} как «взрыв», хотя в моей системе это называется дуомега-сложением. С этого момента давайте упростим понимание системы, разбивая связанные ординалы в FGH.

Большинство основных ординалов ниже ε ₀ можно рассматривать как ряд убывающих отрезков x ₁ + x ₂ + x ₃ ..., где каждый отрезок x является либо более простым ординалом, за исключением последнего отрезка, который иногда может быть конечным числом. Примером этого является ω ² + ω 2 + 1, с сегментами ω ² , ω 2 и 1. Эти сегменты, при упрощении, можно рассматривать как состоящие из тетрационального множителя, экспоненциального множителя и мультипликативного множителя. Например, можно сказать, что (ω ³ ) 2 имеет экспоненциальный множитель 2 и мультипликативный множитель 1 (и тетрациональный множитель 0) (Замечание: это означает, что каждый сегмент может быть отображен в виде массива для каждого множителя, и, таким образом, каждое порядковое число ниже ε ₀ может быть отображено с использованием двумерного массива ^{[требуется доказательство]} , что было бы странной нотацией, которую я, возможно, уточню в какой-то момент). Каждый сегмент в порядковом числе можно рассматривать как эквивалент сегмента в моей системе именования. Возьмем существующий пример: мегасложение (f _ω+1 (n)) состоит из двух сегментов: мегасложения (ω) и сложения (1), разделенных дефисом. Для простоты можно сказать, что мегасложение имеет «эквивалентный ординал» ω+1.

Функции с эквивалентными порядковыми числами, кратными ω, используют стандартные префиксы для числительных (дуо-, три-, квадри-, квинти-, сексти-, септи-, окти-, нони-, деци- и т. д.), например, тримегация ({a,a,b,3}) имеет эквивалентный порядковый номер ω3 и, таким образом, приблизительно эквивалентна f _ω3 (n).

Ниже представлена ​​таблица некоторых имен, основанных на системе, определенной на данный момент:

Предел для этого равен {a,a,a,b} ≈ f _{ω ²} (n). Очевидно, куда двигаться дальше.

Раздел 3: Продолжение до f _{ε 0} (n)

Следующим шагом после кратных ω является экспомегация (экспо- от возведения в степень), которая в нотации массива определяется как {a,a,a,b}. Это означает, что она имеет темп роста f _{ω ²} (n). Важно отметить, что «дуоэкспомегация» — это не f _{(ω ² ) 2} (n), а f _{ω ³} (n). Эксподуомегация — это f _{(ω ² ) 2} (n), и f _{(ω ³ ) 2} (n) будет дуоэксподуомегацией. Именно здесь использование сегментов становится более очевидным; f _{ω ² + ω + 1} (n) будет экспомега-мега-сложением.

Последним шагом на пути к получению f _{ε 0} (n) является наименования тетрациональных (степенных) порядковых чисел, таких как ω ^ω и ω ^{ω ω} . Хотя порядковая тетрация не определена четко, такие порядковые числа, как ω ^ω, можно неформально упростить до ω↑↑2 (или ² ω), что делает более понятным наличие у порядкового числа тетрационального множителя. Возвращаясь к множителям с другим примером: ω ^{(ω 3 )4} имеет тетрациональный множитель 1, экспоненциальный множитель 2 и мультипликативный множитель 3 (хотя я почти уверен, что это не делает его равным ((ω^^2) ³ )4, если это вообще допустимый вычислимый порядковый номер). Эти множители упрощают создание имен функций; тетрамегация (тетра- от тетрации) определяется как {a,b 2} в нотации массива (в частности, BAN ). Она имеет темп роста f _{ω ^ω} (n). Дуотетрамегация имеет соответствующий порядковый номер ω ^{ω ω} и определяется как {a,b[1,2]2}.

ОБНОВЛЕНИЕ 21.11.23: В случаях, не соответствующих предыдущим критериям, могут возникнуть проблемы. Например, f _{ω ^ω+1} (n) будет называться «тетрамегасложением», но такое название также будет применяться к f _{ω ^ω +1} (n). Хотя изначально я хотел решить эту проблему, используя скобки при необходимости (так, f _{ω ^ω+1} (n) будет называться «тетра(мегасложением)»), я думаю, что более изящным способом было бы использовать «-by-» там, где скобки требуются для различения двух имен. Например, это дало бы f _{ω ^ω+1} (n) название «тетра-сложение-на-мега». f _{ω ^ω2} (n) будет называться «тетра-на-дуомегацию».

Эта система заканчивается на f _{ε 0} (n), функции, для которой я собираюсь дать два разных имени: специальное имя Эпсилонация (см. раздел 4) и экстраполированное имяПентамегация (см. раздел 5).

Раздел 4: Специальные названия функций после f _{ε 0} (n)

Это небольшой бонус, поскольку эти имена функций не следуют какой-либо непрерывной системе.

Эпсилонация определяется как {a,b 2} = {a,b[1\2]2}. Она имеет эквивалентный порядковый номер ε ₀ и имеет темп роста f _{ε 0} (n).
Дзетация определяется как {a,b[1\1\2]2}. Она имеет эквивалентный порядковый номер ζ ₀ и имеет темп роста f _{ζ 0} (n).
Этация определяется как {a,b[1\1\1\2]2}. Она имеет эквивалентный порядковый номер η ₀ и имеет темп роста f _{η 0} (n).
Гамма определяется как {a,b[1/2]2}. Он имеет эквивалентный порядковый номер Γ ₀ и скорость роста f _{Γ 0} (n) или f _φ(1,0,0) (n) с использованием расширенной функции Веблена.

Раздел 5: Экстраполированные имена для функций после f _{ε 0} (n)

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ О СОДЕРЖАНИИ: Впереди проклятые ординалы! Если некорректно определенная порядковая арифметика вызывает у вас недомогание, пожалуйста, отойдите.

С этого момента мы будем предполагать, что порядковая тетрация и высшие порядковые гипероператоры просто работают и не являются некорректно определенными. Если мы так поступим, то легко продолжить шаблон экспомегации и тетрамегации с помощью пентамегации , которая будет определена как {a,b 2} = {a,b[1\2]2} и будет иметь темп роста f _{ε 0} (n). Можно сказать, что ε ₀ имеет пентациональный множитель, если хотите. После этого дуопентамегация будет определена как {a,b[1\1[1\2]2]2} и будет иметь темп роста f _{ε 0 (} n). Гексамегация определяется как {a,b[1\1\2]2} и имеет скорость роста f _{ζ 0} (n).

Забавно, что мы сталкиваемся с той же проблемой, с которой началась вся эта схема именования. Без проблем, мы можем просто включить нашу схему именования в нее же, получив мегамегацию . Мегамегация определяется как {a,b[1 \2]2} = {a,b[1\\2]2} и имеет скорость роста f φ _(ω,0) (n) с использованием функции Веблена. Чтобы продолжить эту схему, было бы разумно «упростить» наши ординалы, придав им более понятный (хотя и не совсем определенный) вид. Если мы заменим ε ₀ на ω↑↑ω = ω↑↑↑2 и заменим ζ ₀ на ω↑↑↑ω = ω{4}2, мы могли бы сказать, что φ(ω,0) = ω{ω}ω = {ω,ω,ω}. Фактически, если мы определим φ(ω,0) как равное f _ω (ω), мы можем подставить FGH в него самого и создать f _{f ω (ω)} (n) в качестве замены f _φ(ω,0) (n). Это делает название нашей функции «мегагамегация» более понятным. И теперь, когда это прояснено, мы можем продолжить.

Дуомегамагегация имеет скорость роста f _{f ω2 (ω)} (n), которая, я полагаю, будет равна f _φ(ω2,0) (n). Если это так, то это будет определено как {a,b[1\\1\\2]2}.
Экспомегамегация имеет темп роста f _{f ω ² (ω)} (n), который, я полагаю, будет равен f _{φ(ω ² ,0)} (n). Если это так, то это будет определено как {a,b[1 \2]2}.
Тетрамегамегация имеет темп роста f _{f ω ^ω (ω)} (n), который, я полагаю, будет равен f _{φ(ω ^ω ,0)} (n). Если это так, то это будет определено как {a,b[1[1,2]\2]2}.
И наконец, мегагамегация имеет темп роста f _{f φ(ω,0) (ω)} (n), который, я полагаю, будет равен f _{φ(φ(ω,0),0)} (n). Если это так, то он будет определен как {a,b[1[1\\2]\2]2}.

Применение

Практическое применение гипероператоров ограничено специфическими областями, поскольку операции уровня выше возведения в степень (например, тетрация, пентация) быстро дают очень большие числа, которые сложно обрабатывать. Однако в некоторых научных и инженерных сферах гипероператоры могут быть полезны:

1. Теория вычислений и сложность алгоритмов

Гипероператоры могут использоваться для анализа алгоритмов с очень высокой степенью вычислительной сложности. Например, некоторые задачи в области теоретической информатики, такие как вычисление больших чисел или построение вычислительных схем, требуют операций, которые можно описать с помощью гипероператоров.

2. Криптография

В криптографии используются большие числа для создания сложных ключей и шифров. Возведение в степень и другие гипероператоры могут играть роль в создании более сложных шифровальных схем и методов защиты данных.

3. Астрономия и физика

В моделях, где необходимо работать с очень большими числами (например, оценки размера вселенной или продолжительности времени существования объектов), гипероператоры могут быть полезны для удобного представления таких чисел.

4. Теоретическая математика

В математике гипероператоры используются в исследованиях больших чисел, таких как число Грэма, которое связано с проблемой Рамсея. Это число слишком велико для записи с помощью обычных степеней, и гипероператоры позволяют его описать.

5. Числовые теории и комбинаторика

В области числовых теорий, особенно когда речь идет о быстром росте последовательностей, гипероператоры могут использоваться для описания таких функций и их свойств.

Несмотря на ограниченное прямое применение в повседневных вычислениях, гипероператоры играют важную роль в теоретических исследованиях и решении задач, связанных с экстремально большими числами.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• гексация ,
• тетрация , пентация , обратный суперкорень , ssrt ,
• Функция Аккермана
• Функция Веблена
• Пси-функции Бухгольца
• Быстрорастущая иерархия
• Медленнорастущая иерархия
• Иерархия Харди
• Возведение в степень
• Суперкорень
• Суперлогарифм

Исследование, описанное в статье про гипероператор, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое гипероператор, гипероперация и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Алгебра