Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое тетрация, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое тетрация, пентация , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Алгебра.
тетрация (гипероператор-4) в математике — итерационная функция экспоненты, следующий гипероператор после возведения в степень. Тетрация используется для описания больших чисел.
Термин «тетрация», состоящий из слов «тетра-» (четыре) и «итерация» (повторение), был впервые применен английским математиком Рубеном Гудстейном в 1947 году
Для любого положительного вещественного числа 
или 
и неотрицательного целого числа 
, тетрацию 
можно определить рекуррентно:
Согласно данному определению, вычисление тетрации, записанной как «степенная башня», возведение в степень начинается с самых дальних уровней к начальному (в данной системе обозначений, с самого наивысшего показателя степени):
Или:
При этом, так как возведение в степень не является ассоциативной операцией, то вычисление выражения в другом порядке приведет к другому ответу:
Или:
Таким образом, степенные башни должны вычисляться сверху-вниз (или справа-налево), то есть, иначе говоря, они обладают правой ассоциативностью.
. Бесконечное возведение в степень для основания
.
Тетрация является четвертой по счету гипероперацией:
Здесь каждая операция является итерацией предыдущей.
Для тетрации в общем случае неверны следующие характерные для предыдущих операторов свойства:
, например:
, но
.
не равно ни
, ни 
, например:
, т.к. 
.Примечание: однако, верно 
или
.
Существует несколько терминов для определения понятия тетрация и за каждым из них стоит своя логика, но некоторые из них не стали общепринятыми в силу тех или иных причин. Ниже приведено несколько подобных примеров.
» для
.Тетрацию также часто путают с другими тесно связанными функциями и выражениями. Ниже приведено несколько связанных терминов:
| Форма | Терминология |
|---|---|
 |
Тетрация |
 |
Итерационные экспоненты |
 |
Вложенные экспоненты (также башни) |
 |
Бесконечные экспоненты (также башни) |
В первых двух выражениях {\displaystyle a}
есть основание, и количество появляющихся {\displaystyle a} есть высота. В третьем выражении, {\displaystyle n} есть высота, но все основания разные.
Системы записи, в которых тетрация может быть использована (некоторые из них позволяют использование даже более высоких итераций), включают в себя:
| Имя | Форма | Описание |
|---|---|---|
| Стандартная форма записи | |
Использована Мауером (Maurer) [1901] и Гудштейном [1947]; популяризовано в книге Руди Рюкера «Infinity and the Mind». |
| Стрелочная нотация Кнута | n} |
Позволяет удлинение путем добавления добавочных или индексированных стрелочек, является более мощным способом. |
| Цепочка Конвея |  |
Позволяет удлинение путем прибавления 2 (эквивалентно вышеописанному способу), но также возможно даже более мощный способ записи, если увеличивать цепочку. |
| Функция Аккермана |  |
Допускает особый случай {\displaystyle a=2} в записи в терминах функции Аккермана. |
| Итерируемая экспоненциальная форма записи |  |
Позволяет простое удлинение до итерационных экспонент начиная со значений отличных от 1. |
| Обозначения Хусменд (англ. Hooshmand) |  |
|
| Система записи гипероператорами |  |
Позволяет удлинение путем прибавления 4; это дает семейство гипероператоров. |
| Система записи ASCII | a^^n | Так как запись стрелочка наверх используется идентично обозначению корректурного знак вставки (^), оператор тетрация может быть записан в виде (^^). |
| Нотация массивов Бауэрса/Берда | {a, b,2} | {a, b,c} = a^^^…^^^b (c стрелок сверхстепени). |
Одна из вышеприведенных систем использует систему записи итерированных экспонент; в общем случае это определяется следующим образом:
Не так много обозначений существует для итерированных экспонент, но несколько из них показаны ниже:
| Имя | Форма | Описание |
|---|---|---|
| Стандартная форма записи |  |
Система записи и итерационная система записи была введена Эйлером. |
| Стрелочная нотация Кнута |  |
Позволяет для суперстепеней и суперэкспоненциальных функций увеличивать число стрелочек. |
| Гипер-Е нотация | E(a)x#n | |
| Система записи Иоанна Галидакиса (англ. Ioannis Galidakis) |  |
Допускает использование больших выражений в основании. |
| ASCII (добавочный) | a^^n@x | Основана на взгляде, что итерационная экспонента есть добавочная тетрация. |
| ASCII (стандартный) | exp_a^n(x) | Основана на стандартной форме записи. |
В нижеприведенной таблице большинство значений слишком огромны, чтобы их записать в экспоненциальном представлении, по этой причине используется система записи в виде итерационных экспонент, чтобы представить их с основанием 10. Значения, содержащие десятичную запятую, являются приблизительными. Например, четвертая тетрация от 3 (т.е. 
) начинается цифрами 1258, заканчивается цифрами 39387 и имеет 3638334640025 цифр, последовательность A241292 в OEIS.
 |
 |
 |
 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 16 | 65 536 |
| 3 | 27 | 7 625 597 484 987 |  |
| 4 | 256 |  |
 |
| 5 | 3 125 |  |
 |
| 6 | 46 656 |  |
 |
| 7 | 823 543 |  |
 |
| 8 | 16 777 216 |  |
 |
| 9 | 387 420 489 |  |
 |
| 10 | 10 000 000 000 |  |
 |
целым.
быть рациональным числом, если — целое число, большее 3, а 
— рациональное, но не целое число (для 
ответ отрицателен) .
неизвестно, является ли положительный корень уравнения 
рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.Пентация — это повторяющаяся тетрация, как тетрация — повторяющееся возведение в степень. Она является гипероператором, это некоммутативная функция и, отсюда, имеет две обратные функции, которые можно назвать пента-корень и пента-логарифм (аналогично тому, как возведение в степень имеет две обратные функции: арифметический корень и логарифм).
(число с более чем 10153 цифр)
(число с более чем 10102184 цифр)Тетрация и пентация являются операциями в высшей арифметике, которые используются в математике для возведения в очень большие итеративные степени. Однако, их практическое применение в различных отраслях ограничено. Вот несколько возможных областей, в которых можно найти применение для этих операций:
1. Криптография: Тетрация и пентация могут использоваться в криптографии для создания сложных алгоритмов шифрования. Они могут обеспечить сильную защиту данных при математическом моделировании сложных преобразований.
2. Анализ данных: В некоторых случаях тетрация и пентация могут быть использованы для взвешивания данных с разной степенью значимости. Это может быть полезным при разработке алгоритмов машинного обучения или анализе больших объемов данных.
3. Моделирование сложных процессов: Тетрация и пентация могут быть применены в научной работе и исследованиях для моделирования сложных процессов или систем. Это может помочь ученым понять и предсказать поведение таких систем, где нелинейные итеративные процессы играют роль.
4. Компьютерная графика: Вычисления с использованием тетрации и пентации могут быть востребованы в компьютерной графике для реалистического моделирования эффектов рефлексии или освещения. Они позволяют создавать более сложные и реалистичные визуальные эффекты. Однако в большинстве отраслей, таких как бизнес, финансы или инженерия, применение тетрации и пентации ограничено из-за их сложности и малой практической пользы. В основном, эти операции используются в научных и академических исследованиях для изучения абстрактных математических концепций.
Исследование, описанное в статье про тетрация, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое тетрация, пентация и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Алгебра
Комментарии
Оставить комментарий
Алгебра
Термины: Алгебра