Степень числа , степень отрицательного числа, Порядок действий в примерах со степенями, применение

степень числа — это математическая операция, при которой число умножается само на себя определенное количество раз.

Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

Степень числа записывается в виде aⁿ, где:

• a — основание степени (число, которое возводится в степень),
• n — показатель степени (сколько раз число aaa умножается на себя).

возведение в степень :

1. Положительный показатель степени: an=a×a×a×⋯×a (где число aaa умножается на себя nnn раз).

   Например,

2. Отрицательный показатель степени: ​, где a≠0 . Отрицательная степень означает, что мы берем обратное значение числа, возведенного в положительную степень.

   Например, ​.

3. Нулевая степень: Для любого числа aaa, кроме нуля, выполняется правило: a⁰=1.

Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулем.

Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.

Итак, разберемся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращенное обозначение.

Так, вместо произведения шести одинаковых множителей 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 пишут 4⁶ и произносят «четыре в шестой степени».

4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 = 4⁶

Выражение 4⁶ называют степенью числа, где:

• 4 - основание степени;
• 6 - показатель степени.

В общем виде степень с основанием "a" и показателем "n" записывается с помощью выражения:

Запись aⁿ читается так: «а в степени n» или «n-ая степень числа a».

Исключение составляют записи:

• a² - ее можно произносить как «а в квадрате»;
• a³ - ее можно произносить как «а в кубе».

Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:

• a² - «а во второй степени»;
• a³ - «а в третьей степени».

Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0).

Выражение 0⁰ (ноль в нулевой степени) считают лишенным смыслом.

• (-32)⁰ = 1
• 0²⁵³ = 0
• 1⁴ = 1

При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение значения степени.

Пример. Возвести в степень.

• 5³ = 5 • 5 • 5 = 125
• 2.5² = 2.5 • 2.5 = 6.25
• (

  3

  4

  )⁴ =

  3

  4

  •

  3

  4

  •

  3

  4

  •

  3

  4

  =

  3 • 3 • 3 • 3

  4 • 4 • 4 • 4

  =

  81

  256

Возведение в степень отрицательного числа

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом - положительным, отрицательным или нулем.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того четным или нечетным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечетную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечетного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в четную степень, то получается положительное число. Так как произведение четного количество отрицательных сомножителей положительно.

• 2 • (- 3)² = 2 • (- 3) • (- 3) = 2 • 9 = 18
• - 5 • (- 2)³ = - 5 • (- 8) = 40

Обратите внимание!

При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (- 5)⁴ и -5⁴ это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (- 5)⁴ означает найти значение четвертой степени отрицательного числа.

(- 5)⁴ = (- 5) • (- 5) • (- 5) • (- 5) = 625

В то время как найти -5⁴ означает, что пример нужно решать в 2 действия:

1. Возвести в четвертую степень положительное число 5.
   5⁴ = 5 • 5 • 5 • 5 = 625
2. Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание).
   -5⁴ = - 625

Пример. Вычислить: - 6² - (- 1)⁴

- 6² - (- 1)⁴ = - 37

1. 6² = 6 • 6 = 36
2. -6² = - 36
3. (- 1)⁴ = (- 1) • (- 1) • (- 1) • (- 1) = 1
4. - (- 1)⁴ = - 1
5. - 36 - 1 = - 37

Порядок действий в примерах со степенями:

Когда вы решаете выражения, включающие степени, следует соблюдать определенный порядок действий:

1. Сначала возведение в степень: даже если в выражении есть умножение или деление, возведение в степень выполняется первым.
2. Умножение и деление: выполняются слева направо.
3. Сложение и вычитание: выполняются последними.

Пример. Вычислить:

Применеие степеней

Возведение в степень и работа со степенями применяются в различных областях науки и техники. Вот несколько примеров применения:

1. Физика

• Законы движения и силы: В физических формулах часто используются степени. Например, закон всемирного тяготения Ньютона описывает силу притяжения между двумя телами как

2​ где расстояние между телами rrr возводится в квадрат.

• Энергия: Кинетическая энергия тела рассчитывается как , где скорость vvv возводится в квадрат.

2. Электричество и электроника

• Закон Ома и мощность: Мощность электрической цепи может быть рассчитана через напряжение и сопротивление как ​, где напряжение V возводится в квадрат.
• Мощность сигнала: В радиоэлектронике для расчета мощности сигнала часто используется логарифмическая шкала, и возведение в степень связано с экспоненциальным изменением мощности.

3. Экономика

• Проценты и сложные проценты: Формула для расчета сложных процентов, например, , включает возведение в степень, где t — количество лет, а n — частота начисления процентов.
• Рост населения: Модели роста населения, инвестиций или любой другой экспоненциальной функции зависят от возведения в степень. Например, экспоненциальный рост описывается уравнением .

4. Математика

• Алгебра и аналитическая геометрия: В решении квадратных уравнений (ax²+bx+c=0 ) и в уравнениях более высоких порядков используются степени.
• Прогрессии и ряды: Геометрическая прогрессия, которая используется в математике и других науках, включает формулу для суммы членов прогрессии:
• , где n — степень множителя r.

5. Программирование и вычисления

• Алгоритмы и сложность: Возведение в степень используется при оценке сложности алгоритмов, например, когда необходимо рассчитать экспоненциальное время работы (O(2^n)).
• Шифрование: В криптографии важную роль играют большие степени и остатки от деления при работе с простыми числами (например, алгоритмы RSA и Диффи-Хеллмана).

6. Астрономия

• Звездные величины: Яркость звезды уменьшается по закону обратных квадратов с расстоянием от источника света.
• Расстояние до звезд: Возведение в степень применяется в расчетах расстояния до объектов в космосе (например, для оценки параллакса).

7. Химия

• Закон масс действия: В химических реакциях скорость реакции может зависеть от концентраций реагентов, возведенных в различные степени.
• Например, для реакции вида продукты, скорость может выражаться как , где m и n — степени концентраций A и B.

Возведение в степень также играет важную роль в сокращении вычислений и оптимизации математических операций. Вот несколько примеров, как степени упрощают или сокращают вычисления:

1. Упрощение длинных произведений

Вместо того чтобы выполнять длительные вычисления с многократным умножением одного и того же числа, можно воспользоваться возведением в степень. Например:

• Вычисление 2×2×2×2×2×2×2×2 можно записать как 2⁸, что сразу дает результат 256 . Это значительно упрощает вычисления по сравнению с поочередным умножением.

2. Ускорение сложных вычислений

Возведение в степень позволяет быстро вычислять большие значения, используя свойства степеней, такие как:

• (суммирование показателей степени),
• (вычитание показателей степени),
• (произведение показателей степени).

Эти свойства уменьшают количество операций и ускоряют процесс решения.

3. Оптимизация алгоритмов

При разработке алгоритмов в программировании часто используется возведение в степень для ускорения вычислений, например:

• Алгоритм быстрого возведения в степень: вместо простого перемножения числа несколько раз можно использовать двоичное разложение показателя степени, что существенно сокращает число операций. Например, для вычисления 2¹⁰ можно сделать это за меньшее количество шагов, чем просто перемножая 2 на себя десять раз.

Пример быстрого возведения в степень:

4. Упрощение работы с большими числами

Степени помогают эффективно выражать и работать с очень большими числами. Например, вместо того чтобы писать большие числа вручную, можно использовать экспоненциальные формы, такие как:

• 10⁶ для миллиона,
• 10⁹ для миллиарда,
• 10¹² для триллиона и т.д.

Это удобно в астрономии, физике и других науках, где часто используются очень большие числа.

5. Оптимизация решения уравнений

Степени играют важную роль в упрощении решения уравнений, особенно полиномиальных и экспоненциальных. Применение свойств степеней позволяет свести сложные выражения к более простым формам.

Пример:

Можно заменить x2 на новую переменную y, и уравнение становится квадратичным:

Это существенно упрощает вычисления.

6. Сокращение записи формул и выражений

Возведение в степень помогает записывать сложные выражения в компактной форме, что не только облегчает понимание, но и ускоряет вычисления. Например, многочлены и полиномиальные выражения записываются с помощью степеней, что экономит место и делает математические расчеты более структурированными.

7. Обработка данных с экспоненциальным ростом

В задачах, где происходит экспоненциальный рост (например, рост численности населения, увеличение капитала при сложных процентах или распространение информации), возведение в степень позволяет прогнозировать результат через большие промежутки времени, сокращая необходимость в пошаговых вычислениях.

Таким образом, возведение в степень существенно сокращает вычисления, как в математических задачах, так и в практических приложениях, благодаря удобным правилам и свойствам степеней, а также возможности выражать большие числа и сложные выражения в сжатой форме.

Таким образом, возведение в степень — это ключевой инструмент для решения множества практических задач в науке и технике.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• ноль в нулевой степени ,
• тетрация , пентация ,
• гексация ,