Ноль в нулевой степени

Привет, Вы узнаете о том , что такое ноль в нулевой степени, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое ноль в нулевой степени , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Математический анализ. Дифференциальное исчисление.

Выражение 0⁰ (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределенным и лишенным смысла . Связано это с тем, что функция двух переменных f(x,y)=xy в точке (0,0) имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси X, где y=0, она равна единице, а вдоль положительного направления оси Y, где x=0, она равна нулю. Поэтому никакое соглашение о значении 0⁰ не может дать непрерывную в нуле функцию.

Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что 00 равно 1. В пользу подобного варианта приводятся несколько доводов. Например, разложение в ряд экспоненты:

можно записать короче, если принять :

(рассматриваемое соглашение используется при x=0, n=0 ).

Другое обоснование соглашения опирается на «Теорию множеств» Бурбаки : число различных отображений n-элементного множества в m-элементное равно mn, при m=n=0 получаем отображение пустого множества в пустое, а оно единственно. Разумеется, это нельзя считать доказательством (соглашения не нуждаются в доказательствах), тем более что в самой теории множеств соглашение не используется.

В любом случае соглашение чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке, в противном случае может возникнуть ошибка. Пример для аналитических вычислений: функция где a — произвольное положительное вещественное число. При t→0 мы получаем неопределенность типа и, если не отличать тип предела (где каждый из нулей обозначает стремление к нулю) и значение (где каждый из нулей и есть ноль), можно ошибочно посчитать, что предел равен 1. На самом деле данное выражение тождественно равно a−1. Это означает, что бесконечно малая в бесконечно малой степени может в пределе дать любое значение, не обязательно единицу. Аналогичные ошибки могут быть сделаны, если использовать соглашение в алгебраических преобразованиях.

Дискуссия по поводу определения продолжается, по крайней мере, с начала XIX века. Многие математики тогда принимали соглашение 00=1, но в 1821 году Коши причислил 00 к неопределенностям, таким, как 00. В 1830-х годах Либри опубликовал неубедительный аргумент в пользу (см. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Функция Хевисайда § История), и Мебиус встал на его сторону, ошибочно заявив, что всякий раз, когда . Обозреватель, который подписал свое имя просто как «S», предоставил приведенный выше контрпример , и это немного успокоило дебаты. Больше исторических деталей можно найти в статье Кнута (1992) .

Более поздние авторы интерпретируют ситуацию выше по-разному. Часть математиков считает, что 00 должно быть определено как 1. Например, Кнут (1992) уверенно утверждает, что «должно быть 1», делая различие между значением , которое должно равняться 1, как это было предложено Либри, и предельной формой 00 (аббревиатура для предела где f(x),g(x)→0 ), что обязательно является неопределенностью, как указано Коши: «И Коши, и Либри были правы, но Либри и его защитники не понимали, почему истина на их стороне» . Авторитетный сайт MathWorld, приведя мнение Кнута, все же констатирует, что обычно значение 00 считается неопределенным, несмотря на то, что соглашение 00=1 позволяет в некоторых случаях упростить запись формул .

Другие математики утверждают, что наилучшее значение для зависит от контекста, и поэтому определение его раз и навсегда проблематично^[10]. Согласно Бенсону (1999), «Выбор, следует ли определять 00, основан на удобстве, а не на правильности. Если мы воздержимся от определения 00, то некоторые утверждения становятся излишне неудобными. <…> Консенсус заключается в использовании определения 00=1, хотя есть учебники, которые воздерживаются от определения »^[11].

В России Большая российская энциклопедия, Большая советская энциклопедия, Математический энциклопедический словарь, Справочник по элементарной математике Выгодского, школьные учебники и другие источники однозначно характеризуют 00 как выражение, не имеющее смысла (неопределенность).

Если даны две функции f(x) и g(x), которые стремятся к нулю, то предел в общем случае, как показано выше, может быть любым. Таким образом, с этой точки зрения является неопределенностью. Для нахождения предела в этом случае пользуются методами раскрытия неопределенности — как правило, сначала взяв логарифм от данного выражения:

,

а потом воспользовавшись правилом Лопиталя.

Однако при определенных условиях этот предел будет действительно равен единице. А именно: если функции f и g являются аналитическими в точке 0 (то есть в некоторой окрестности точки 0 совпадают со своим рядом Тейлора), и f(0)=g(0)=0, а f(x)>0 в окрестности (0,δ), то предел f(x)g(x) при x стремящемся к нулю справа равен 1^[12][13][14].

Например, таким образом можно сразу убедиться, что

При этом надо не забывать, что если хотя бы одна из функций не разлагается в ряд Тейлора в точке 0 или f(x) тождественно равен 0, то предел может быть любым, или может не существовать. Например,

Для комплексных чисел u,v выражение вида uv для u≠0 многозначно и определяется как , Однако комплексный логарифм не определен ни в какой своей ветви, и это лишает смысла любое соглашение не только для , но и для любого , хотя часть авторов предлагает при z≠0 принять соглашение

Стандарт IEEE 754-2008, описывающий формат представления чисел с плавающей запятой, определяет три функции возведения в степень^[18]:

• Функция для возведения в целую степень: pown⁡(x,y) . Согласно стандарту, pown⁡(x,0)=1 для любого x, в том числе, когда x равен нулю, NaN или бесконечности.
• Функция для возведения в произвольную степень: powr⁡(x,y) — по сути равная exp⁡(yln⁡(x)) . Согласно стандарту, powr⁡(±0,±0) возвращает значение «не число» NaN.
• Функция для возведения в произвольную степень, которая особо определена для целых чисел: pow⁡(x,y) . Согласно стандарту, pow⁡(x,±0)=1 для всех x (так же, как и pown⁡(x,0) ). Данное соглашение в целом имеет разумное обоснование (см. ниже), однако вопрос может вызывать случай, когда x=NaN.

Во многих языках программирования ноль в нулевой степени равен 1. Например, в C++: pow(0, 0) == 1, в языке Haskell это верно для всех трех стандартных операций возведения в степень: 0^0 == 1, 0^^0 == 1, 0**0 == 1. То же касается и стандартного калькулятора MS Windows.

Хотя общеизвестно, что — это неопределенность, поведение некоторых функций, возвращающих в данном случае 1, не является результатом соглашения или ошибкой, оно имеет логическое обоснование. Дело в том, что в компьютерной арифметике числовые данные подразделяются на целые и вещественные. Это может неявно использоваться в некоторых функциях, реализующих операцию возведения в степень. Например, так сделано в калькуляторе Windows и функции pow в C++. Для целого и вещественного показателя степени используются различные алгоритмы, и функция возведения в степень анализирует показатель: если он равен целому числу, то вычисление степени идет по другому алгоритму, в котором отрицательные и нулевое основания степени являются допустимыми. Если показатель степени принадлежит множеству целых чисел и равен 0, а основание - вещественное число, то операцию следует определять не иначе как . Поскольку 0 в показателе точный, предельный переход касается только основания и (в отличие от случая, когда показатель тоже вещественный) определен однозначно и равен 1 . Сказанное в полной мере относится и к случаю вычисления выражения .

• деление на ноль ,
• неопределенность , отношение эквивалентности ,
• тетрация , пентация ,
• степень числа , возведение в степень , порядок действий для степеней ,

Исследование, описанное в статье про ноль в нулевой степени, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое ноль в нулевой степени и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Математический анализ. Дифференциальное исчисление